Calcule os limites abaixo, utilizando o segundo limite fundamental
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}=e :
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{2 x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\displaystyle \lim_{x\to\infty}\Bigl(1+\frac1x\Bigr)^{2x},
sabendo que vale o segundo limite fundamental
\displaystyle \lim_{x\to\infty}\Bigl(1+\frac1x\Bigr)^{x}=e.

Passo 2

Reescrevemos a potência de forma a usar o limite fundamental:
\Bigl(1+\tfrac1x\Bigr)^{2x} =\Bigl[\bigl(1+\tfrac1x\bigr)^{x}\Bigr]^{2}.
Como x\to\infty, temos
\lim_{x\to\infty}\Bigl(1+\tfrac1x\Bigr)^{x}=e,
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\lim_{x\to\infty}\Bigl(1+\tfrac1x\Bigr)^{2x} =\bigl(\lim_{x\to\infty}(1+\tfrac1x)^{x}\bigr)^{2} =e^{2}.

Resposta

e^{2}

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