Calcule os limites indicados:
lim _{x \rightarrow 3} ln \frac{x-3}{\sqrt{x+1}-2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to3}\ln\frac{x-3}{\sqrt{x+1}-2}.
O conteúdo envolvido é cálculo de limite de forma indeterminada \tfrac{0}{0} e manipulação algébrica (racionalização do denominador), seguido de propriedades do logaritmo.

Passo 2

Verificamos a forma da indeterminação avaliando numerador e denominador separadamente quando x\to3:
\;x-3\to0 e \;\sqrt{x+1}-2\to\sqrt{4}-2=0.
Logo temos uma indeterminação do tipo \tfrac{0}{0}.

Passo 3

Para eliminar essa indeterminação, racionalizamos o denominador da fração interior:
\frac{x-3}{\sqrt{x+1}-2} \;\times\; \frac{\sqrt{x+1}+2}{\sqrt{x+1}+2} = \frac{(x-3)\bigl(\sqrt{x+1}+2\bigr)}{(\sqrt{x+1}-2)(\sqrt{x+1}+2)} = \frac{(x-3)\bigl(\sqrt{x+1}+2\bigr)}{x+1-4}.
Como x+1-4 = x-3 e, para x\neq3, podemos cancelar x-3, obtemos
\frac{x-3}{\sqrt{x+1}-2} =\sqrt{x+1}+2.

Passo 4

Agora calculamos o limite da expressão simplificada dentro do logaritmo:
\lim_{x\to3}\bigl(\sqrt{x+1}+2\bigr) =\sqrt{4}+2=2+2=4.

Passo 5

Finalmente, pela continuidade do logaritmo,
\lim_{x\to3}\ln\frac{x-3}{\sqrt{x+1}-2} =\ln\Bigl(\lim_{x\to3}\frac{x-3}{\sqrt{x+1}-2}\Bigr) =\ln(4).

Resposta

\ln(4)

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