Calcule os limites abaixo, utilizando o segundo limite fundamental
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}=e :
\lim _{x \rightarrow-\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to -\infty}\Bigl(1+\frac{1}{x}\Bigr)^{x},
sabendo que
\lim_{x\to \infty}\Bigl(1+\frac{1}{x}\Bigr)^{x}=e.

Passo 2

Fazemos a mudança de variável
t = -\,x.
Quando x\to -\infty, então t\to +\infty.

Passo 3

Em função de t, a expressão fica
\Bigl(1+\frac{1}{x}\Bigr)^{x} =\Bigl(1-\frac{1}{t}\Bigr)^{-t}.

Passo 4

Reescrevemos
\Bigl(1-\frac{1}{t}\Bigr)^{-t} =\bigl((1-\tfrac{1}{t})^{t}\bigr)^{-1}.

Passo 5

Pelo limite fundamental adaptado, sabemos que
\lim_{t\to\infty}(1-\tfrac{1}{t})^{t}=e^{-1}.
Logo
\lim_{x\to -\infty}\Bigl(1+\tfrac{1}{x}\Bigr)^{x} =(e^{-1})^{-1}=e.

Resposta

e

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