Calcule os limites abaixo, utilizando o segundo limite fundamental
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}=e :
\lim _{x \rightarrow-\infty}\left(1+\frac{4}{x}\right)^{\frac{3 x}{5}}

Passo 1

O enunciado pede o valor de
\lim_{x\to -\infty}\Bigl(1+\frac{4}{x}\Bigr)^{\frac{3x}{5}}
O conteúdo envolvido é o de limites exponenciais do tipo \bigl(1+u\bigr)^{1/u}\to e quando u\to0 (segundo limite fundamental).

Passo 2

Definimos u = \tfrac{4}{x}. Quando x\to -\infty, temos u\to0 (pela esquerda), e ainda
x = \frac{4}{u} \quad\Longrightarrow\quad \frac{3x}{5} = \frac{3}{5}\,\frac{4}{u} = \frac{12}{5u}.
Logo a expressão fica
\Bigl(1+\tfrac{4}{x}\Bigr)^{\frac{3x}{5}} = (1+u)^{\frac{12}{5u}}.

Passo 3

Pelo segundo limite fundamental, temos
\lim_{u\to0}(1+u)^{\frac{1}{u}} = e.
Portanto
\lim_{u\to0}(1+u)^{\frac{12}{5u}} =\Bigl[\lim_{u\to0}(1+u)^{\frac{1}{u}}\Bigr]^{\frac{12}{5}} = e^{\frac{12}{5}}.

Resposta

e^{\frac{12}{5}}

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