Calcule os limites abaixo, utilizando o segundo limite fundamental
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}=e :
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x}{x+1}\right)^{x}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to\infty}\Bigl(\frac{x}{x+1}\Bigr)^{x}
utilizando o segundo limite fundamental
\lim_{x\to\infty}\Bigl(1+\frac{1}{x}\Bigr)^{x}=e.

Passo 2

Reescrevemos a base em função de \,1+\tfrac1x. Observamos que
\frac{x}{x+1} = \frac{1}{1+\frac1x},
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\Bigl(\frac{x}{x+1}\Bigr)^{x} = \Bigl(\frac{1}{1+\tfrac1x}\Bigr)^{x} = \bigl(1+\tfrac1x\bigr)^{-x}.

Passo 3

Aplicando o segundo limite fundamental, temos
\lim_{x\to\infty}\bigl(1+\tfrac1x\bigr)^{-x} = \bigl(\lim_{x\to\infty}(1+\tfrac1x)^{x}\bigr)^{-1} = e^{-1}.

Resposta

e^{-1}

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