Calcule os limites abaixo, utilizando o segundo limite fundamental
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}=e :
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x-4}{x-1}\right)^{x+3}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to\infty}\Bigl(\frac{x-4}{x-1}\Bigr)^{x+3}
usando o segundo limite fundamental
\lim_{t\to\infty}\Bigl(1+\frac{1}{t}\Bigr)^{t}=e.
O conteúdo envolve limites do tipo \bigl(1+u(x)\bigr)^{v(x)} com u(x)\to0 e v(x)\to\infty.

Passo 2

Reescrevemos a base numa forma “ 1+,coisa pequena”:
\frac{x-4}{x-1} = \frac{(x-1)-3}{x-1} = 1 - \frac{3}{x-1}.

Passo 3

Expressamos a potência de modo a usar o limite padrão:
\Bigl(1-\frac{3}{x-1}\Bigr)^{x+3} = \Bigl[\bigl(1-\frac{3}{x-1}\bigr)^{\,x-1}\Bigr]^{\frac{x+3}{\,x-1}}.

Passo 4

Aplicamos o segundo limite fundamental com a=-3:
\lim_{x\to\infty}\Bigl(1-\frac{3}{x-1}\Bigr)^{x-1} = e^{-3},
e observamos também
\lim_{x\to\infty}\frac{x+3}{x-1}=1.

Passo 5

Juntando os resultados,
\lim_{x\to\infty}\Bigl(\frac{x-4}{x-1}\Bigr)^{x+3} = \bigl(e^{-3}\bigr)^{1} = e^{-3}.

Resposta

e^{-3}

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