Calcule os limites abaixo, utilizando o segundo limite fundamental
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}=e :
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x-3}{x+2}\right)^{x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x-3}{x+2}\right)^{x}
usando o segundo limite fundamental \lim_{t\to\infty}(1+1/t)^{t}=e. Para isso, vamos reescrever a base no formato 1+\tfrac{\text{algo}}{\text{algo grande}} e aplicar o fato de que \bigl(1+\tfrac{a}{n}\bigr)^{n}\to e^{a}.

Passo 2

Reescrevendo a fração dentro da potência, temos
\frac{x-3}{x+2} =\frac{(x+2)-5}{x+2} =1-\frac{5}{x+2}\,.

Passo 3

Substituindo essa expressão em \bigl(\tfrac{x-3}{x+2}\bigr)^{x}, obtemos
\left(1-\frac{5}{x+2}\right)^{x} =\left(1-\frac{5}{x+2}\right)^{\,x+2} \cdot \left(1-\frac{5}{x+2}\right)^{-2}.

Passo 4

Quando x\to\infty:
  • O fator \bigl(1-\tfrac{5}{x+2}\bigr)^{\,x+2} tende a e^{-5}, porque é do tipo \bigl(1+\tfrac{a}{n}\bigr)^{n} com a=-5 e n=x+2.
  • O fator \bigl(1-\tfrac{5}{x+2}\bigr)^{-2} tende a 1, já que \tfrac{5}{x+2}\to0.
Multiplicando ambos, concluímos que o limite vale e^{-5}.

Resposta

e^{-5}

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