Calcule os limites abaixo, utilizando o segundo limite fundamental
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}=e :
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to\infty}\Bigl(\frac{x-1}{x+1}\Bigr)^{x}
usando o segundo limite fundamental
\lim_{x\to\infty}\Bigl(1+\frac{1}{x}\Bigr)^{x}=e.
O conteúdo envolve limites do tipo (1+u(x))^{v(x)} com u(x)\to0 e v(x)\to\infty. Vamos reescrever a base na forma 1+u(x), identificar u(x) e aplicar o limite exponencial.

Passo 2

Reescrevemos a fração como
\frac{x-1}{x+1} =1-\frac{2}{x+1}.
Logo o limite vira
\lim_{x\to\infty}\Bigl(1-\frac{2}{x+1}\Bigr)^{x}.

Passo 3

Definimos
u(x)=-\frac{2}{x+1},
que satisfaz \lim_{x\to\infty}u(x)=0, e o expoente v(x)=x com \lim_{x\to\infty}v(x)=\infty. Pelo resultado geral, se u(x)\to0 e v(x)\to\infty, então
\lim_{x\to\infty}(1+u(x))^{v(x)} =e^{\lim_{x\to\infty}u(x)\,v(x)}.

Passo 4

Calculamos o produto dentro do exponencial:
\lim_{x\to\infty}u(x)\,v(x) =\lim_{x\to\infty}\Bigl(-\frac{2}{x+1}\Bigr)\,x =\lim_{x\to\infty}\Bigl(-\frac{2x}{x+1}\Bigr) =-2.

Passo 5

Portanto, aplicando o segundo limite fundamental generalizado, obtemos
\lim_{x\to\infty}\Bigl(\frac{x-1}{x+1}\Bigr)^{x} =e^{-2}.

Resposta

e^{-2}

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