Calcule os limites abaixo, utilizando o segundo limite fundamental
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}=e :
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{2 x+3}{2 x+1}\right)^{x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to\infty}\Bigl(\tfrac{2x+3}{2x+1}\Bigr)^{x}
usando o segundo limite fundamental
\lim_{u\to\infty}\Bigl(1+\tfrac1u\Bigr)^{u}=e.
Vamos transformar a base em algo da forma 1+\tfrac1{\cdot}.

Passo 2

Reescrevendo a fração interna, temos
\frac{2x+3}{2x+1} =\frac{2x+1+2}{2x+1} =1+\frac{2}{2x+1} =1+\frac{1}{x+\tfrac12}.

Passo 3

Defina y=x+\tfrac12. Então x=y-\tfrac12 e
\Bigl(1+\tfrac1{\,x+\tfrac12}\Bigr)^{x} =\Bigl(1+\tfrac1y\Bigr)^{\,y-\tfrac12} =\Bigl(1+\tfrac1y\Bigr)^{y}\,\Bigl(1+\tfrac1y\Bigr)^{-\tfrac12}.

Passo 4

Quando y\to\infty, pelo segundo limite fundamental
\Bigl(1+\tfrac1y\Bigr)^{y}\to e \quad\text{e}\quad \Bigl(1+\tfrac1y\Bigr)^{-\tfrac12}\to1.
Logo o produto tende a e.

Resposta

e

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