Calcule os limites abaixo, utilizando o segundo limite fundamental
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}=e :
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{5 x-1}{x}\right)^{2 x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to\infty}\Bigl(\frac{5x-1}{x}\Bigr)^{2x}
usando o “segundo limite fundamental”
\lim_{u\to\infty}\Bigl(1+\frac1u\Bigr)^{u}=e\,.
Aqui o conteúdo é limites de funções exponenciais e vamos reescrever a base de modo a aplicar diretamente esse limite.

Passo 2

Observe que
\frac{5x-1}{x}=5-\frac1x=5\Bigl(1-\frac{1}{5x}\Bigr)\,.
Logo
\Bigl(\frac{5x-1}{x}\Bigr)^{2x} =\Bigl[5\Bigl(1-\frac{1}{5x}\Bigr)\Bigr]^{2x} =5^{2x}\,\Bigl(1-\frac{1}{5x}\Bigr)^{2x}\,.

Passo 3

Para aplicar o limite fundamental ao segundo fator, note que
\Bigl(1-\frac{1}{5x}\Bigr)^{5x}\;\xrightarrow[x\to\infty]{}\;e^{-1}\,.
Então
\Bigl(1-\frac{1}{5x}\Bigr)^{2x} =\Bigl[\Bigl(1-\frac{1}{5x}\Bigr)^{5x}\Bigr]^{\tfrac{2}{5}} \;\xrightarrow[x\to\infty]{}\;e^{-2/5}\,.

Passo 4

Combinando os fatores, temos
\Bigl(\frac{5x-1}{x}\Bigr)^{2x} =5^{2x}\;\Bigl(1-\frac{1}{5x}\Bigr)^{2x} \sim 5^{2x}\,e^{-2/5}\,.
Como 5^{2x} cresce sem limite quando x\to\infty, o produto também diverge para +\infty.

Resposta

\displaystyle +\infty

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