Calcule os limites abaixo, utilizando o segundo limite fundamental
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}=e :
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{3 x+2}{5 x-3}\right)^{2 x}

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{x\to\infty}\Bigl(\frac{3x+2}{5x-3}\Bigr)^{2x}.
Trata-se de um limite onde a base tende a uma constante menor que 1 e o expoente tende a \infty. Vamos usar a técnica de levar à forma \exp(\lim\ln(\cdot)) e expandir \ln(1+u) para pequenos u.

Passo 2

Escrevemos a base isolando o fator constante:
\frac{3x+2}{5x-3} = \frac{3x\bigl(1+\tfrac{2}{3x}\bigr)}{5x\bigl(1-\tfrac{3}{5x}\bigr)} = \frac{3}{5}\,\frac{1+\tfrac{2}{3x}}{1-\tfrac{3}{5x}}.

Passo 3

Defina
L=\lim_{x\to\infty}\Bigl(\frac{3x+2}{5x-3}\Bigr)^{2x}.
Então
\ln L = \lim_{x\to\infty}2x\ln\Bigl(\frac{3x+2}{5x-3}\Bigr) = \lim_{x\to\infty}\Bigl[2x\ln\frac{3}{5} +2x\Bigl(\ln\bigl(1+\tfrac{2}{3x}\bigr)-\ln\bigl(1-\tfrac{3}{5x}\bigr)\Bigr)\Bigr].

Passo 4

Para grandes x temos
2x\ln\frac{3}{5}\to -\infty,
enquanto
\ln\bigl(1+\tfrac{2}{3x}\bigr)\approx \tfrac{2}{3x},\quad -\ln\bigl(1-\tfrac{3}{5x}\bigr)\approx \tfrac{3}{5x},
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2x\Bigl(\tfrac{2}{3x}+\tfrac{3}{5x}\Bigr) =2\Bigl(\tfrac{2}{3}+\tfrac{3}{5}\Bigr)
é finito e fica negligenciável diante de 2x\ln\frac{3}{5}\to-\infty. Assim \ln L=-\infty e
L=e^{-\infty}=0.

Resposta

0

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