Calcule os limites abaixo, utilizando o segundo limite fundamental
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}=e :
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{5 x-3}{3 x+2}\right)^{2 x}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de
\lim_{x\to\infty}\Bigl(\frac{5x-3}{3x+2}\Bigr)^{2x}
Esse tipo de limite é exponencial com a base tendendo a um valor fixo e o expoente crescendo. Vamos manipular a expressão para aplicar o segundo limite fundamental
\lim_{t\to\infty}\Bigl(1+\frac1t\Bigr)^t = e.

Passo 2

Extraímos da fração um fator constante para reescrever a base na forma 1+ algo que tende a zero. Note que
\frac{5x-3}{3x+2} = \frac{5}{3}\,\frac{x-\tfrac{3}{5}}{x+\tfrac{2}{3}} = \frac{5}{3}\,\Bigl(1 - \frac{\tfrac{3}{5}+\tfrac{2}{3}}{x+\tfrac{2}{3}}\Bigr).
Como \tfrac{3}{5}+\tfrac{2}{3}=\tfrac{19}{15}, segue
\frac{5x-3}{3x+2} = \frac{5}{3}\,\Bigl(1 - \frac{19/15}{x+2/3}\Bigr).

Passo 3

Logo o limite original fica
\Bigl(\frac{5x-3}{3x+2}\Bigr)^{2x} = \bigl(\tfrac{5}{3}\bigr)^{2x}\;\bigl(1 - \tfrac{19/15}{x+2/3}\bigr)^{2x}.
Vamos analisar separadamente cada fator.

Passo 4

O primeiro fator \bigl(\tfrac{5}{3}\bigr)^{2x} diverge para +\infty pois \tfrac{5}{3}>1 e 2x\to\infty.
No segundo fator definimos
t = x + \tfrac{2}{3},
então t\to\infty e
\bigl(1 - \tfrac{19/15}{x+2/3}\bigr)^{2x} = \Bigl(1 - \frac{19/15}{t}\Bigr)^{t\cdot\frac{2x}{t}} = \Bigl[\Bigl(1 - \frac{19/15}{t}\Bigr)^{t}\Bigr]^{\frac{2x}{t}}.
Pelo segundo limite fundamental, com u=-19/15, temos
\Bigl(1 - \frac{19/15}{t}\Bigr)^{t}\to e^{-19/15}, \quad \frac{2x}{t}\to2,
logo esse fator tende a
\bigl(e^{-19/15}\bigr)^{2} = e^{-38/15},
uma constante positiva.

Passo 5

Como a parte \bigl(\tfrac{5}{3}\bigr)^{2x} cresce sem limite e o outro fator tende a e^{-38/15}, o produto diverge para +\infty.

Resposta

+\infty

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