Calcule os limites abaixo, utilizando o terceiro limite fundamental \lim _{x \rightarrow 0} \frac{a^{x}-1}{x}=\ln (a) :
\lim _{x \rightarrow a} \frac{e^{x}-e^{a}}{x-a}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to a}\frac{e^x - e^a}{x - a}
usando o terceiro limite fundamental
\lim_{t\to 0}\frac{A^t - 1}{t} = \ln(A).
Aqui o conteúdo é interpretação de limite do quociente de diferença, que coincide com a derivada de e^x em x=a.

Passo 2

Para usar o limite fundamental, fazemos a troca de variável
h = x - a,
então x = a + h e h\to 0 quando x\to a. O quociente fica
\frac{e^x - e^a}{x - a} = \frac{e^{a+h} - e^a}{h} = \frac{e^a\bigl(e^h - 1\bigr)}{h} = e^a \,\frac{e^h - 1}{h}.

Passo 3

Agora aplicamos o limite fundamental com A = e:
\lim_{h\to 0}\frac{e^h - 1}{h} = \ln(e) = 1.
Logo
\lim_{x\to a}\frac{e^x - e^a}{x - a} = e^a \cdot 1 = e^a.

Resposta

e^a

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