Exercício 1. Determine os valores máximo e mínimo absolutos de f(x)=\frac{x}{x^{2}-x+1} no intervalo [-1,3].

Passo 1

O enunciado pede os valores máximo e mínimo absolutos da função
f(x) = \frac{x}{x^{2} - x + 1}
no intervalo [-1,3]. Vamos usar cálculo de derivada para achar pontos críticos e, em seguida, comparar os valores de f nos pontos críticos e nas extremidades do intervalo.

Passo 2

Para identificar os pontos críticos, calculamos a derivada de f via a regra do quociente. Temos
f'(x) = \frac{(x^{2}-x+1) \cdot 1 - x\cdot(2x-1)}{(x^{2}-x+1)^{2}} = \frac{x^{2}-x+1 -2x^{2}+x}{(x^{2}-x+1)^{2}} = \frac{1 - x^{2}}{(x^{2}-x+1)^{2}}.
Os pontos críticos ocorrem quando f'(x)=0, isto é,
1 - x^{2} = 0 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}=1 \quad\Longrightarrow\quad x = \pm 1.
No intervalo [-1,3] temos x=-1 (que também é extremidade) e x=1 como candidatos.

Passo 3

Agora avaliamos f em x=-1, x=1 e x=3:
f(-1) = \frac{-1}{(-1)^{2} -(-1)+1} = \frac{-1}{1+1+1} = -\frac{1}{3},
f(1) = \frac{1}{1 -1 +1} = 1,
f(3) = \frac{3}{3^{2} -3 +1} = \frac{3}{9 -3 +1} = \frac{3}{7}.

Passo 4

Comparando os valores obtidos:
f(-1) = -\frac{1}{3},\quad f(1) = 1,\quad f(3) = \frac{3}{7}\approx0,4286.
O menor valor é -\tfrac{1}{3} em x=-1 e o maior valor é 1 em x=1.

Resposta

Valor mínimo absoluto: -\tfrac{1}{3} em x=-1.
Valor máximo absoluto: 1 em x=1.

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