2- Calcule os limites algébricos
\lim _{x \rightarrow 3} \sqrt{\frac{x^{2}+3 x+1}{x^{3}-2}}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\lim_{x\to3}\sqrt{\frac{x^{2}+3x+1}{x^{3}-2}}
Isso envolve limite de quociente de polinômios dentro de uma raiz quadrada. Vamos usar que polinômios são funções contínuas e que a composição com a raiz (para argumentos positivos) também é contínua.

Passo 2

Verificamos a continuidade da função dentro da raiz:
\displaystyle\frac{x^{2}+3x+1}{x^{3}-2} é razão de polinômios e, em x=3, o denominador vale 3^{3}-2=25\neq0. Logo esse quociente é contínuo em x=3. A raiz quadrada é contínua para argumentos positivos, e em x=3 o radicando será positivo (veremos no próximo passo). Assim podemos simplesmente substituir x=3 na expressão.

Passo 3

Substituindo x=3 no numerador e no denominador:
3^{2}+3\cdot3+1 = 9 + 9 + 1 = 19,
3^{3}-2 = 27 - 2 = 25.
Portanto o radicando em x=3 é \tfrac{19}{25}.

Passo 4

Agora basta extrair a raiz quadrada desse valor:
\sqrt{\frac{19}{25}} = \frac{\sqrt{19}}{5}.

Resposta

\displaystyle \frac{\sqrt{19}}{5}

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