2- Calcule os limites algébricos
\lim _{y \rightarrow 0} \frac{\sqrt[3]{y+1}-1}{y}

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{y\to0}\frac{\sqrt[3]{y+1}-1}{y}.
O conteúdo principal é cálculo de limites algébricos, usando a fatoração de diferença de cubos para eliminar a raiz.

Passo 2

Definimos
u = \sqrt[3]{y+1},\quad v = 1,
de modo que
u^3 - v^3 = (y+1)-1 = y.
Para retirar a raiz do numerador, multiplicamos numerador e denominador por
u^2 + uv + v^2,
já que (u-v)(u^2+uv+v^2)=u^3-v^3.

Passo 3

Fazendo a multiplicação, temos
\frac{\sqrt[3]{y+1}-1}{y} = \frac{u-v}{y} = \frac{(u-v)(u^2+uv+v^2)}{y\,(u^2+uv+v^2)} = \frac{u^3-v^3}{y\,(u^2+uv+v^2)} = \frac{y}{y\,(u^2+uv+v^2)} = \frac{1}{u^2+uv+v^2}.

Passo 4

Ao fazermos y\to0, mede-se
u = \sqrt[3]{1+0} = 1,
então
u^2 + uv + v^2 \to 1^2 + 1\cdot1 + 1^2 = 3.
Logo, o limite é
\lim_{y\to0}\frac{\sqrt[3]{y+1}-1}{y} = \frac{1}{3}.

Resposta

\tfrac{1}{3}

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