2- Calcule os limites algébricos
\lim _{x \rightarrow 2} \frac{2 x^{2}-3 x-2}{3 x^{2}+x-14}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite algébrico
\lim_{x\to2}\frac{2x^2-3x-2}{3x^2+x-14}.
O conteúdo envolve limite de função racional, e vamos precisar identificar indeterminações, usar fatoração e simplificação antes de avaliar.

Passo 2

Vamos tentar a substituição direta x=2. Calculando o numerador:
2\cdot2^2 - 3\cdot2 - 2 = 8 - 6 - 2 = 0
e o denominador:
3\cdot2^2 + 2 - 14 = 12 + 2 - 14 = 0
Logo a expressão assume a forma indeterminada \frac{0}{0}, então é preciso fatorar para simplificar.

Passo 3

Fatorando numerador e denominador:
2x^2 - 3x - 2 = (2x + 1)(x - 2)
3x^2 + x - 14 = (3x + 7)(x - 2)

Passo 4

Substituindo essas fatorações no quociente, obtemos
\frac{(2x+1)(x-2)}{(3x+7)(x-2)}.
Como x\neq2, podemos cancelar o fator (x-2) e ficar com a função equivalente
\frac{2x+1}{3x+7}.

Passo 5

Agora o limite não é mais indeterminado e basta substituir x=2:
\lim_{x\to2}\frac{2x+1}{3x+7} = \frac{2\cdot2+1}{3\cdot2+7} = \frac{5}{13}.

Resposta

\displaystyle \frac{5}{13}

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