Calcule os limites aplicando os limites fundamentais.
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x+2}{x+1}\right)^{x},

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x+2}{x+1}\right)^{x}.
Informações relevantes que recebemos:
  • A expressão pode ser reescrita como \left(1+\dfrac{1}{x+1}\right)^{x} (peguei essa identidade algebraica a partir da expressão dada).
  • Quando x \to \infty a base tende a 1 e o expoente tende a \infty, ou seja temos uma forma indeterminada do tipo 1^{\infty}.
  • O problema pede a avaliação do limite dessa forma indeterminada.

Passo 2

Estratégia escolhida (explicação didática): para lidar com potências em que a base tende a 1 e o expoente tende a \infty é muito útil tomar o logaritmo natural. Isso porque, se f(x)>0 e \lim_{x\to\infty} f(x)=L existe, então
\lim_{x\to\infty} f(x)=\exp\!\Big(\lim_{x\to\infty} \ln f(x)\Big).
Tomar \ln transforma a potência em produto, que é mais fácil de analisar com limites fundamentais. Vou aplicar isso ao nosso limite.

Passo 3

Defino
L=\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x+2}{x+1}\right)^{x}.
Como a expressão é positiva para x grande, posso escrever
\ln L=\lim_{x\to\infty} \ln\!\left(\left(1+\frac{1}{x+1}\right)^{x}\right) =\lim_{x\to\infty} x\ln\!\left(1+\frac{1}{x+1}\right).

Passo 4

Para avaliar \lim_{x\to\infty} x\ln\!\left(1+\dfrac{1}{x+1}\right) faço a substituição n=x+1. Quando x\to\infty temos n\to\infty e
x\ln\!\left(1+\frac{1}{x+1}\right)=(n-1)\ln\!\left(1+\frac{1}{n}\right).
Agora desenvolvo essa expressão:
(n-1)\ln\!\left(1+\frac{1}{n}\right)=n\ln\!\left(1+\frac{1}{n}\right)-\ln\!\left(1+\frac{1}{n}\right).
Vou analisar os dois termos separadamente quando n\to\infty.

Passo 5

Fundamento usado (limite fundamental): vale a identidade
\lim_{t\to 0}\frac{\ln(1+t)}{t}=1,
que é um limite fundamental (pode ver como a derivada (\ln(1+t))'|_{t=0}=1 ou pela expansão \ln(1+t)=t+o(t)). Aplicando com t=\dfrac{1}{n} (que tende a 0 quando n\to\infty) obtemos
\lim_{n\to\infty} n\ln\!\left(1+\frac{1}{n}\right) =\lim_{n\to\infty}\frac{\ln(1+1/n)}{1/n}=1.
Além disso,
\lim_{n\to\infty}\ln\!\left(1+\frac{1}{n}\right)=0.
Portanto, voltando ao passo anterior,
\lim_{n\to\infty} (n-1)\ln\!\left(1+\frac{1}{n}\right)=1-0=1.

Passo 6

Concluímos que
\ln L=1.
Voltando da função logarítmica, obtemos
L=\exp(1)=e.

Passo 7

Observação alternativa rápida (mesma conclusão): reescrever
\left(1+\frac{1}{x+1}\right)^{x} =\frac{\left(1+\dfrac{1}{x+1}\right)^{x+1}}{1+\dfrac{1}{x+1}}
e aplicar os limites fundamentais \lim_{x\to\infty}\left(1+\dfrac{1}{x+1}\right)^{x+1}=e e \lim_{x\to\infty}\left(1+\dfrac{1}{x+1}\right)=1 e/1=e.

Resposta

e

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