Calcule os limites aplicando os limites fundamentais.
,
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações relevantes que recebemos:
- A expressão pode ser reescrita como
(peguei essa identidade algebraica a partir da expressão dada). - Quando
a base tende a e o expoente tende a , ou seja temos uma forma indeterminada do tipo . - O problema pede a avaliação do limite dessa forma indeterminada.
Passo 2
Estratégia escolhida (explicação didática): para lidar com potências em que a base tende a
e o expoente tende a
é muito útil tomar o logaritmo natural. Isso porque, se
e
existe, então
Tomar
transforma a potência em produto, que é mais fácil de analisar com limites fundamentais. Vou aplicar isso ao nosso limite.
Passo 3
Defino
Como a expressão é positiva para
grande, posso escrever
Passo 4
Para avaliar
faço a substituição
. Quando
temos
e
Agora desenvolvo essa expressão:
Vou analisar os dois termos separadamente quando
.
Passo 5
Fundamento usado (limite fundamental): vale a identidade
que é um limite fundamental (pode ver como a derivada
ou pela expansão
). Aplicando com
(que tende a
quando
) obtemos
Além disso,
Portanto, voltando ao passo anterior,
Passo 6
Concluímos que
Voltando da função logarítmica, obtemos
Passo 7
Observação alternativa rápida (mesma conclusão): reescrever
e aplicar os limites fundamentais
e
dá
.