Calcule os limites aplicando os limites fundamentais.
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular
Informações dadas: a expressão é a razão entre a raiz quadrada de
e
. O objetivo é determinar o limite quando
se aproxima de
(bilateral).
Passo 2
Usar uma identidade trigonométrica para simplificar o numerador. A identidade dupla do cosseno é
Isolando
obtemos
Essa é uma identidade exata válida para todo
.
Passo 3
Substituindo no numerador e simplificando a raiz:
Lembrar que
, pois a raiz quadrada retorna o valor não negativo. Portanto
Passo 4
Reescrevendo o limite com essa forma:
Agora precisamos estudar
. Como há valor absoluto, os comportamentos à direita e à esquerda de
podem ser diferentes, então é necessário analisar os limites laterais.
Passo 5
Lado direito (
): para
pequeno tem
, logo
. Assim
Usando o limite fundamental
segue que
e portanto
Passo 6
Lado esquerdo (
): para
pequeno tem
, logo
. Assim
Pelo mesmo limite fundamental
, obtemos
e portanto
Passo 7
Conclusão: os limites laterais não coincidem (temos
pela direita e
pela esquerda). Assim o limite bilateral quando
não existe.
Resposta
O limite não existe (
,
).