Calcule os limites aplicando os limites fundamentais.
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1-\cos 2 x}}{x}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular
\lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{1-\cos 2x}}{x}.
Informações dadas: a expressão é a razão entre a raiz quadrada de 1-\cos 2x e x. O objetivo é determinar o limite quando x se aproxima de 0 (bilateral).

Passo 2

Usar uma identidade trigonométrica para simplificar o numerador. A identidade dupla do cosseno é
\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x.
Isolando 1-\cos 2x obtemos
1-\cos 2x = 2\sin^2 x.
Essa é uma identidade exata válida para todo x.

Passo 3

Substituindo no numerador e simplificando a raiz:
\sqrt{1-\cos 2x} = \sqrt{2\sin^2 x} = \sqrt{2}\,\sqrt{\sin^2 x}.
Lembrar que \sqrt{\sin^2 x} = \lvert \sin x\rvert, pois a raiz quadrada retorna o valor não negativo. Portanto
\sqrt{1-\cos 2x} = \sqrt{2}\,\lvert \sin x\rvert.

Passo 4

Reescrevendo o limite com essa forma:
\frac{\sqrt{1-\cos 2x}}{x} = \sqrt{2}\,\frac{\lvert \sin x\rvert}{x}.
Agora precisamos estudar \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\lvert \sin x\rvert}{x}. Como há valor absoluto, os comportamentos à direita e à esquerda de 0 podem ser diferentes, então é necessário analisar os limites laterais.

Passo 5

Lado direito ( x\to 0^+): para x>0 pequeno tem \sin x>0, logo \lvert \sin x\rvert = \sin x. Assim
\lim_{x\to 0^+}\frac{\lvert \sin x\rvert}{x} = \lim_{x\to 0^+}\frac{\sin x}{x}.
Usando o limite fundamental
\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1,
segue que
\lim_{x\to 0^+}\frac{\lvert \sin x\rvert}{x}=1,
e portanto
\lim_{x\to 0^+}\frac{\sqrt{1-\cos 2x}}{x}=\sqrt{2}\cdot 1=\sqrt{2}.

Passo 6

Lado esquerdo ( x\to 0^-): para x<0 pequeno tem \sin x<0, logo \lvert \sin x\rvert = -\sin x. Assim
\lim_{x\to 0^-}\frac{\lvert \sin x\rvert}{x} = \lim_{x\to 0^-}\frac{-\sin x}{x} = -\lim_{x\to 0^-}\frac{\sin x}{x}.
Pelo mesmo limite fundamental \lim_{t\to 0}\dfrac{\sin t}{t}=1, obtemos
\lim_{x\to 0^-}\frac{\lvert \sin x\rvert}{x} = -1,
e portanto
\lim_{x\to 0^-}\frac{\sqrt{1-\cos 2x}}{x}=\sqrt{2}\cdot(-1)=-\sqrt{2}.

Passo 7

Conclusão: os limites laterais não coincidem (temos \sqrt{2} pela direita e -\sqrt{2} pela esquerda). Assim o limite bilateral quando x\to 0 não existe.

Resposta

O limite não existe ( \lim_{x\to 0^+}=\sqrt{2}, \lim_{x\to 0^-}=-\sqrt{2}).

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