Calcule os limites aplicando os limites fundamentais.
\lim _{v \rightarrow \pi} \frac{1+\cos v}{(\pi-v)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{v \to \pi} \frac{1+\cos v}{(\pi-v)^{2}}.
Informações dadas:
  • A variável que se aproxima é v e o ponto de aproximação é v=\pi.
  • A expressão a avaliar é a razão entre 1+\cos v e (\pi-v)^2.
O que queremos obter é um número real (o valor desse limite) usando limites fundamentais de trigonometria.

Passo 2

Fazer uma substituição simples para transformar a expressão numa forma que conhecemos dos limites fundamentais. Defina
t=\pi-v.
Quando v\to\pi temos t\to 0. Reescrevendo a expressão em função de t:
\frac{1+\cos v}{(\pi-v)^{2}}=\frac{1+\cos(\pi-t)}{t^{2}}.
Agora use a identidade trigonométrica \cos(\pi-t)=-\cos t. Logo
\frac{1+\cos(\pi-t)}{t^{2}}=\frac{1+(-\cos t)}{t^{2}}=\frac{1-\cos t}{t^{2}}.
Portanto o limite original é equivalente a
\lim_{v\to\pi}\frac{1+\cos v}{(\pi-v)^{2}}=\lim_{t\to 0}\frac{1-\cos t}{t^{2}}.

Passo 3

Explicar e provar o limite fundamental que vamos usar:
queremos conhecer \lim_{t\to 0}\dfrac{1-\cos t}{t^{2}}.
Use a identidade trigonométrica que simplifica 1-\cos t:
1-\cos t=2\sin^{2}\!\left(\frac{t}{2}\right).
Substituindo na razão:
\frac{1-\cos t}{t^{2}}=\frac{2\sin^{2}\!\left(\frac{t}{2}\right)}{t^{2}}.

Passo 4

Manipular a expressão usando o limite clássico \lim_{u\to 0}\dfrac{\sin u}{u}=1. Escreva
\frac{2\sin^{2}\!\left(\frac{t}{2}\right)}{t^{2}} =2\left(\frac{\sin\!\left(\frac{t}{2}\right)}{\frac{t}{2}}\right)^{2}\cdot\frac{\left(\frac{t}{2}\right)^{2}}{t^{2}}.
Calcule a última razão de potências:
\frac{\left(\frac{t}{2}\right)^{2}}{t^{2}}=\frac{t^{2}/4}{t^{2}}=\frac{1}{4}.
Portanto
\frac{1-\cos t}{t^{2}}=2\left(\frac{\sin\!\left(\frac{t}{2}\right)}{\frac{t}{2}}\right)^{2}\cdot\frac{1}{4} =\frac{1}{2}\left(\frac{\sin\!\left(\frac{t}{2}\right)}{\frac{t}{2}}\right)^{2}.

Passo 5

Aplicar o limite quando t\to 0. Pelo limite clássico \lim_{u\to 0}\dfrac{\sin u}{u}=1, com u=\dfrac{t}{2} obtemos
\lim_{t\to 0}\left(\frac{\sin\!\left(\frac{t}{2}\right)}{\frac{t}{2}}\right)^{2}=1^{2}=1.
Logo
\lim_{t\to 0}\frac{1-\cos t}{t^{2}}=\frac{1}{2}\cdot 1=\frac{1}{2}.

Passo 6

Concluir retornando à variável original: como mostramos que
\lim_{t\to 0}\frac{1-\cos t}{t^{2}}=\frac{1}{2}
e a substituição t=\pi-v é válida, segue que
\lim_{v\to\pi}\frac{1+\cos v}{(\pi-v)^{2}}=\frac{1}{2}.

Resposta

\dfrac{1}{2}

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