Calcule os limites aplicando os limites fundamentais.
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas:
- A variável que se aproxima é
e o ponto de aproximação é . - A expressão a avaliar é a razão entre
e .
O que queremos obter é um número real (o valor desse limite) usando limites fundamentais de trigonometria.
Passo 2
Fazer uma substituição simples para transformar a expressão numa forma que conhecemos dos limites fundamentais. Defina
Quando
temos
. Reescrevendo a expressão em função de
:
Agora use a identidade trigonométrica
. Logo
Portanto o limite original é equivalente a
Passo 3
Explicar e provar o limite fundamental que vamos usar:
queremos conhecer .
queremos conhecer
Use a identidade trigonométrica que simplifica
:
Substituindo na razão:
Passo 4
Manipular a expressão usando o limite clássico
. Escreva
Calcule a última razão de potências:
Portanto
Passo 5
Aplicar o limite quando
. Pelo limite clássico
, com
obtemos
Logo
Passo 6
Concluir retornando à variável original: como mostramos que
e a substituição
é válida, segue que