Calcule os limites, aplicando a regra de L’Hopital, quando possível:
\lim _{x \rightarrow 0}\left(e^{2 x}+2 x\right)^{4 x}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • Pedem calcular \displaystyle \lim_{x\to 0}\bigl(e^{2x}+2x\bigr)^{4x}.
  • Observações diretas dos termos quando x\to 0:
    • \displaystyle e^{2x}+2x \to e^{0}+0 = 1.
    • \displaystyle 4x \to 0.
  • Portanto a forma da expressão é do tipo 1^{0} quando x\to 0.

Passo 2

Transformação padrão para limites do tipo \text{base}^{\text{expoente}}:
  • Se f(x)>0 perto de x=0, então
\lim_{x\to 0} f(x)^{g(x)} = \exp\!\biggl(\lim_{x\to 0} g(x)\ln f(x)\biggr),
pois a função exponencial é contínua. Aqui podemos aplicar essa ideia com f(x)=e^{2x}+2x e g(x)=4x. Definindo
L=\lim_{x\to 0}\bigl(e^{2x}+2x\bigr)^{4x},
temos
\ln L = \lim_{x\to 0} 4x\cdot \ln\!\bigl(e^{2x}+2x\bigr).

Passo 3

Analisar o limite do expoente \displaystyle \lim_{x\to 0}4x\ln\!\bigl(e^{2x}+2x\bigr):
  • Note que \ln\!\bigl(e^{2x}+2x\bigr)\to \ln 1 = 0 e 4x\to 0, então o produto tende a 0. Mas vamos quantificar melhor para garantir que o limite seja realmente 0 (e não, por exemplo, algum número finito diferente de zero).

Passo 4

Expansão em série (procedimento didático e prático para calcular o comportamento para x pequeno):
  • Uso da série de Taylor da exponencial em torno de 0:
e^{2x} = 1 + 2x + 2x^{2} + O(x^{3})\quad (x\to 0).
  • Assim
e^{2x}+2x = 1 + 2x + 2x^{2} + 2x + O(x^{3}) = 1 + 4x + 2x^{2} + O(x^{3}).

Passo 5

Agora expandimos o logaritmo para argumento perto de 1:
  • Para |t| pequeno vale \ln(1+t)=t-\dfrac{t^{2}}{2}+O(t^{3}).
  • Tomando t=4x+2x^{2}+O(x^{3}), obtemos
\ln\!\bigl(e^{2x}+2x\bigr) = 4x + 2x^{2} - \dfrac{(4x)^{2}}{2} + O(x^{3}) = 4x - 6x^{2} + O(x^{3}).

Passo 6

Multiplicar pela fator 4x que está no expoente:
4x\cdot \ln\!\bigl(e^{2x}+2x\bigr) = 4x\bigl(4x - 6x^{2} + O(x^{3})\bigr) = 16x^{2} - 24x^{3} + O(x^{4}).
Logo quando x\to 0 esse termo tende a 0. Concluímos que
\ln L = \lim_{x\to 0}4x\ln\!\bigl(e^{2x}+2x\bigr) = 0.

Passo 7

Retornar à função original usando exponencial:
L = e^{\ln L} = e^{0} = 1.
Comentário sobre a regra de L’Hôpital: neste problema a transformação natural foi usar logaritmo; tentar aplicar L’Hôpital diretamente no produto 4x\ln(\cdot) não é necessário nem diretamente aplicável (a expressão já tende a 0 e não apresenta uma indeterminação do tipo 0/0 ou \infty/\infty que justifique L’Hôpital). A expansão em série torna claro o comportamento dominante.

Resposta

1

Exercícios relacionados