Calcule os limites, aplicando a regra de L’Hopital, quando possível:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá:
- Pedem calcular
. - Observações diretas dos termos quando
: -
. -
.
-
- Portanto a forma da expressão é do tipo
quando .
Passo 2
Transformação padrão para limites do tipo
:
- Se
perto de , então
pois a função exponencial é contínua. Aqui podemos aplicar essa ideia com
e
. Definindo
temos
Passo 3
Analisar o limite do expoente
:
- Note que
e , então o produto tende a . Mas vamos quantificar melhor para garantir que o limite seja realmente (e não, por exemplo, algum número finito diferente de zero).
Passo 4
Expansão em série (procedimento didático e prático para calcular o comportamento para
pequeno):
- Uso da série de Taylor da exponencial em torno de
:
- Assim
Passo 5
Agora expandimos o logaritmo para argumento perto de
:
- Para
pequeno vale . - Tomando
, obtemos
Passo 6
Multiplicar pela fator
que está no expoente:
Logo quando
esse termo tende a
. Concluímos que
Passo 7
Retornar à função original usando exponencial:
Comentário sobre a regra de L’Hôpital: neste problema a transformação natural foi usar logaritmo; tentar aplicar L’Hôpital diretamente no produto
não é necessário nem diretamente aplicável (a expressão já tende a
e não apresenta uma indeterminação do tipo
ou
que justifique L’Hôpital). A expansão em série torna claro o comportamento dominante.