Calcule os limites, aplicando a regra de L’Hopital, quando possível:
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações importantes extraídas do enunciado:
- A função base é
. - O expoente é
. - Ao substituir
temos e é infinito (vertical), logo a forma indeterminada é do tipo .
Passo 2
Quando temos uma potência que tende para a forma indeterminada
a técnica padrão é passar para o logaritmo e depois usar exponencial. Defino a função dentro do limite como
Então trabalho com
e, se
existir finito, o limite pedido será
. Escrevo
Passo 3
Analiso o comportamento dos fatores em
quando
:
-
. -
(há assimptota em ), logo o produto é da forma , que pode ser convertido em uma forma ou adequada para aplicar a regra de L’Hôpital. Vou transformar o produto numa razão:
Aqui usei
. Observa-se que, quando
, o numerador tende a
e o denominador
também tende a
, então temos uma forma
e podemos aplicar L’Hôpital.
Passo 4
Vou aplicar a regra de L’Hôpital: calcular derivadas do numerador e do denominador e tomar o limite do quociente dessas derivadas. Defino
Calculo
e
com calma.
Passo 5
Derivada do numerador
. Usando regra da cadeia:
Sabendo que
e que
, obtemos
Logo
Agora simplifico a expressão trigonométrica. Escrevo
e
, então
Use a identidade
, daí
. Tomando
obtemos
. Assim
Portanto
Passo 6
Derivada do denominador
. Lembrando que
e que
, temos
Passo 7
Aplicando L’Hôpital:
Cancelando o fator comum
e simplificando as frações:
Portanto
Isso significa que
Passo 8
Como
, voltando da transformação logarítmica, o limite original é
Uma breve checagem intuitiva: aproximando por
e
obtém-se o mesmo valor porque os sinais dos fatores se compensam, e o produto tende a
de ambos os lados, então a exponencial tende a
.