Calcule os limites, aplicando a regra de L’Hopital, quando possível:
Passo 1
O enunciado pede calcular
Informações dadas:
- A função no numerador é
. - O ponto de interesse é
.
O que se quer: o valor numérico do limite quandotende a .
Passo 2
Verificar o tipo de indeterminação para decidir se a regra de L’Hôpital pode ser aplicada.
Calcular os limites separados quando
:
Portanto o numerador tende a
e o denominador
tende a
. A expressão é do tipo
, ou seja, é uma indeterminação onde L’Hôpital pode ser tentado.
Passo 3
Enunciar a regra de L’Hôpital (versão usada):
Se ,
, e
e
são diferenciáveis em um intervalo aberto contendo
(exceto possivelmente em
), com
próximo de
, então, se existir,
Se
Aqui
e
. Ambas são diferenciáveis em torno de
e
. Logo a aplicação de L’Hôpital é válida.
Passo 4
Calcular as derivadas necessárias.
Derivada do denominador:
Derivada do numerador: precisamos de
.
Explicação didática dessa derivada (uma forma direta):
defina . Então
. Diferenciando ambos os lados em relação a
obtemos
Explicação didática dessa derivada (uma forma direta):
defina
Mas
, pois
e para
perto de
a raiz é positiva. Assim
Portanto a derivada do numerador é
Passo 5
Aplicar L’Hôpital substituindo pelo quociente das derivadas:
Agora avaliar esse limite por substituição direta (a expressão é bem definida em
):
Também dá para ver pela série de Taylor rápida:
, então
, consistente com o resultado.
Passo 6
Conclusão: o limite existe e vale
. Força aí nos estudos — você mandou bem checando a indeterminação e aplicando L’Hôpital certinho!