Calcule os limites, aplicando a regra de L’Hopital, quando possível:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\operatorname{arcsen} x}{x}

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{x\to 0}\frac{x-\operatorname{arcsen} x}{x}.
Informações dadas:
  • A função no numerador é x-\operatorname{arcsen} x.
  • O ponto de interesse é x\to 0.
    O que se quer: o valor numérico do limite quando x tende a 0.

Passo 2

Verificar o tipo de indeterminação para decidir se a regra de L’Hôpital pode ser aplicada.
Calcular os limites separados quando x\to 0:
\lim_{x\to 0} x = 0,\qquad \lim_{x\to 0}\operatorname{arcsen} x = \operatorname{arcsen}(0)=0.
Portanto o numerador tende a 0 e o denominador x tende a 0. A expressão é do tipo \dfrac{0}{0}, ou seja, é uma indeterminação onde L’Hôpital pode ser tentado.

Passo 3

Enunciar a regra de L’Hôpital (versão usada):
Se \lim_{x\to a} f(x)=0, \lim_{x\to a} g(x)=0, e f e g são diferenciáveis em um intervalo aberto contendo a (exceto possivelmente em a), com g'(x)\neq 0 próximo de a, então, se existir,
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}.
Aqui f(x)=x-\operatorname{arcsen} x e g(x)=x. Ambas são diferenciáveis em torno de 0 e g'(x)=1\neq0. Logo a aplicação de L’Hôpital é válida.

Passo 4

Calcular as derivadas necessárias.
Derivada do denominador:
g'(x)=\frac{d}{dx}x=1.
Derivada do numerador: precisamos de \dfrac{d}{dx}\operatorname{arcsen} x.
Explicação didática dessa derivada (uma forma direta):
defina y=\operatorname{arcsen} x. Então \sin y = x. Diferenciando ambos os lados em relação a x obtemos
\cos y\cdot \frac{dy}{dx}=1 \quad\Rightarrow\quad \frac{dy}{dx}=\frac{1}{\cos y}.
Mas \cos y=\sqrt{1-\sin^2 y}=\sqrt{1-x^2}, pois \sin y=x e para x perto de 0 a raiz é positiva. Assim
\frac{d}{dx}\operatorname{arcsen} x=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.
Portanto a derivada do numerador é
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x-\operatorname{arcsen} x\bigr)=1-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.

Passo 5

Aplicar L’Hôpital substituindo pelo quociente das derivadas:
\lim_{x\to 0}\frac{x-\operatorname{arcsen} x}{x} =\lim_{x\to 0}\left(1-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right).
Agora avaliar esse limite por substituição direta (a expressão é bem definida em x=0):
1-\frac{1}{\sqrt{1-0^2}}=1-\frac{1}{1}=0.
Também dá para ver pela série de Taylor rápida: \operatorname{arcsen} x = x+\dfrac{x^3}{6}+\cdots, então \dfrac{x-\operatorname{arcsen} x}{x}\approx -\dfrac{x^2}{6}\to 0, consistente com o resultado.

Passo 6

Conclusão: o limite existe e vale 0. Força aí nos estudos — você mandou bem checando a indeterminação e aplicando L’Hôpital certinho!

Resposta

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