Calcule os limites, aplicando a regra de L’Hopital, quando possível:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
onde
é um número real fixo e a variável que tende é
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função trigonométrica
(seno) aparece no numerador. - O ponto de aproximação é
.
A tarefa é obter o valor numérico (em termos de) desse limite.
Passo 2
Verificar a forma do limite para ver se dá para aplicar a regra de L’Hôpital. Substituindo
no numerador e denominador obtemos
ou seja, a forma é
, indeterminada — condição típica para tentar L’Hôpital. Além disso, para aplicar L’Hôpital precisamos que o numerador e o denominador sejam diferenciáveis numa vizinhança de
(exceto possivelmente em
) e que a derivada do denominador não seja zero naquele ponto. Aqui:
- A função
é diferenciável em perto de (porque é diferenciável). - A função
é diferenciável e sua derivada é , que não é zero.
Logo, as hipóteses de L’Hôpital estão satisfeitas e podemos aplicá-la.
Passo 3
Aplicando a regra de L’Hôpital: derivamos numerador e denominador em relação a
e tomamos o limite das derivadas. A derivada em relação a
do numerador é
porque
é constante em
. A derivada do denominador é
Assim, por L’Hôpital,
Passo 4
Como
é contínua, o limite de
quando
é simplesmente
. Portanto
e concluímos o resultado do limite buscado.
Passo 5
Pequena explicação extra (útil para prova): esse limite é exatamente a definição do coeficiente angular (derivada) da função
em
. Em geral, para qualquer função
,
Aqui
e
. Outra forma de fazer (sem L’Hôpital) é usar a identidade
e o limite fundamental
; trocando
também se chega a
.