Calcule os limites, aplicando a regra de L’Hopital, quando possível:
\lim _{x \rightarrow y} \frac{\operatorname{sen} x-\operatorname{sen} y}{x-y}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to y}\frac{\operatorname{sen}x-\operatorname{sen}y}{x-y},
onde y é um número real fixo e a variável que tende é x.
Informações dadas:
  • A função trigonométrica \operatorname{sen} (seno) aparece no numerador.
  • O ponto de aproximação é x\to y.
    A tarefa é obter o valor numérico (em termos de y) desse limite.

Passo 2

Verificar a forma do limite para ver se dá para aplicar a regra de L’Hôpital. Substituindo x=y no numerador e denominador obtemos
\operatorname{sen}y-\operatorname{sen}y=0\quad\text{e}\quad y-y=0,
ou seja, a forma é 0/0, indeterminada — condição típica para tentar L’Hôpital. Além disso, para aplicar L’Hôpital precisamos que o numerador e o denominador sejam diferenciáveis numa vizinhança de y (exceto possivelmente em y) e que a derivada do denominador não seja zero naquele ponto. Aqui:
  • A função x\mapsto \operatorname{sen}x-\operatorname{sen}y é diferenciável em x perto de y (porque \operatorname{sen}x é diferenciável).
  • A função x\mapsto x-y é diferenciável e sua derivada é 1, que não é zero.
    Logo, as hipóteses de L’Hôpital estão satisfeitas e podemos aplicá-la.

Passo 3

Aplicando a regra de L’Hôpital: derivamos numerador e denominador em relação a x e tomamos o limite das derivadas. A derivada em relação a x do numerador é
\frac{d}{dx}\big(\operatorname{sen}x-\operatorname{sen}y\big)=\cos x,
porque \operatorname{sen}y é constante em x. A derivada do denominador é
\frac{d}{dx}(x-y)=1.
Assim, por L’Hôpital,
\lim_{x\to y}\frac{\operatorname{sen}x-\operatorname{sen}y}{x-y} = \lim_{x\to y}\frac{\cos x}{1} = \lim_{x\to y}\cos x.

Passo 4

Como \cos x é contínua, o limite de \cos x quando x\to y é simplesmente \cos y. Portanto
\lim_{x\to y}\cos x=\cos y,
e concluímos o resultado do limite buscado.

Passo 5

Pequena explicação extra (útil para prova): esse limite é exatamente a definição do coeficiente angular (derivada) da função \operatorname{sen} em y. Em geral, para qualquer função f,
\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f'(a).
Aqui f(x)=\operatorname{sen}x e f'(y)=\cos y. Outra forma de fazer (sem L’Hôpital) é usar a identidade
\operatorname{sen}x-\operatorname{sen}y=2\cos\!\left(\frac{x+y}{2}\right)\operatorname{sen}\!\left(\frac{x-y}{2}\right)
e o limite fundamental \lim_{t\to 0}\frac{\operatorname{sen}t}{t}=1; trocando t=(x-y)/2 também se chega a \cos y.

Resposta

\cos y

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