Calcule os limites, aplicando a regra de L’Hopital, quando possível:
\lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{2 x-1}{x}\right)^{\frac{2 x}{1-x^{2}}}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\rightarrow 1}\left(\frac{2x-1}{x}\right)^{\frac{2x}{1-x^{2}}}.
Informações extraídas do enunciado:
  • A base da potência é \dfrac{2x-1}{x}.
  • O expoente é \dfrac{2x}{1-x^{2}}.
  • Ao substituir x=1 diretamente:
    • \dfrac{2x-1}{x}\bigg|_{x=1}=\dfrac{2\cdot1-1}{1}=1.
    • \dfrac{2x}{1-x^{2}}\bigg|_{x=1}=\dfrac{2}{0} (diverge para +\infty ou -\infty dependendo do lado).
  • Portanto a expressão tem a forma indeterminada do tipo 1^{\infty} quando x\to1.

Passo 2

Estratégia de resolução (começando a resolver): para limites do tipo 1^{\infty} usa-se a transformação pelo logaritmo natural, porque \ln é contínua e transforma potência em produto, tornando o limite mais tratável. Assim, definimos
f(x)=\left(\frac{2x-1}{x}\right)^{\frac{2x}{1-x^{2}}}
e estudamos
\ln f(x)=\frac{2x}{1-x^{2}}\cdot\ln\!\left(\frac{2x-1}{x}\right).
O limite original será \lim f(x)=\exp\!\big(\lim \ln f(x)\big), desde que o limite de \ln f(x) exista (finito).

Passo 3

Transformar o produto em quociente para aplicar a regra de L’Hôpital: como \ln\!\left(\dfrac{2x-1}{x}\right)\to0 e \dfrac{1-x^{2}}{2x}\to0 quando x\to1, podemos escrever
\ln f(x)=\frac{\ln\!\left(\dfrac{2x-1}{x}\right)}{\dfrac{1-x^{2}}{2x}}.
Assim temos uma forma \dfrac{0}{0} quando x\to1, apropriada para aplicar L’Hôpital. Vamos calcular as derivadas do numerador e do denominador.

Passo 4

Derivada do numerador:
\frac{d}{dx}\left[\ln\!\left(\frac{2x-1}{x}\right)\right] =\frac{d}{dx}[\ln(2x-1)-\ln x] =\frac{2}{2x-1}-\frac{1}{x}.
Colocando em denominador comum x(2x-1):
\frac{2}{2x-1}-\frac{1}{x}=\frac{2x-(2x-1)}{x(2x-1)}=\frac{1}{x(2x-1)}.
Derivada do denominador (lembrando que o denominador é g(x)=\dfrac{1-x^{2}}{2x}):
Primeiro escrevemos g(x)=\dfrac{1}{2x}-\dfrac{x}{2}. Então
g'(x)=-\frac{1}{2x^{2}}-\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{x^{2}}\right)=-\frac{x^{2}+1}{2x^{2}}.

Passo 5

Aplicando a regra de L’Hôpital:
\lim_{x\to1}\ln f(x) =\lim_{x\to1}\frac{\dfrac{1}{x(2x-1)}}{-\dfrac{x^{2}+1}{2x^{2}}} =\lim_{x\to1}\left(\frac{1}{x(2x-1)}\cdot\frac{-2x^{2}}{x^{2}+1}\right).
Simplificando:
\frac{1}{x(2x-1)}\cdot\frac{-2x^{2}}{x^{2}+1} =\frac{-2x^{2}}{x(2x-1)(x^{2}+1)} =\frac{-2x}{(2x-1)(x^{2}+1)}.
Agora avaliamos em x=1:
\lim_{x\to1}\ln f(x)=\frac{-2\cdot1}{(2\cdot1-1)(1^{2}+1)}=\frac{-2}{1\cdot2}=-1.

Passo 6

Voltando ao limite original: como \lim_{x\to1}\ln f(x)=-1, pela continuidade da exponencial segue que
\lim_{x\to1}f(x)=\exp\!\big(-1\big)=\frac{1}{e}.

Resposta

\dfrac{1}{e}

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