Calcule os limites, aplicando a regra de L’Hopital, quando possível:
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\ln x}{x^{n}}\, para \(n \in \mathbb{N}\)

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x^{n}}
onde \,n\in\mathbb{N}.
Informações dadas:
  • A variável x tende para +\infty.
  • A função no numerador é \ln x.
  • A função no denominador é x^{n}, com n natural (valor inteiro não negativo ou positivo dependendo da convenção; veremos o caso n=0 separadamente).
    O que é pedido: determinar, para cada n natural, o valor do limite acima.

Passo 2

Análise do comportamento das partes quando x\to+\infty:
\ln x \to +\infty,\qquad x^{n}\to +\infty.
Portanto a forma é do tipo \dfrac{+\infty}{+\infty}, uma forma indeterminada. Quando temos uma razão com as duas partes tendendo a infinito, existe uma ferramenta que nos permite substituir a razão pelas razões das derivadas (desde que as funções sejam diferenciáveis em um intervalo adequado e que o limite das derivadas exista ou seja \pm\infty). Essa ferramenta exige:
  • que numerador e denominador sejam diferenciáveis em (a,+\infty) para algum a>0;
  • que a razão das derivadas tenha limite finito ou infinito quando x\to+\infty.
    Aqui essas hipóteses são satisfeitas para x>0: \ln x e x^{n} são diferenciáveis em (0,+\infty). Logo podemos aplicar a regra mencionada (regra de L’Hôpital) para transformar o limite original no limite da razão das derivadas.

Passo 3

Calcular as derivadas envolvidas:
\frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x}, \qquad \frac{d}{dx}(x^{n})=n\,x^{n-1}.
Aplicando a regra (substituindo pela razão das derivadas):
\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x^{n}} = \lim_{x\to+\infty}\frac{\tfrac{1}{x}}{n\,x^{n-1}}.

Passo 4

Simplificar a expressão obtida:
\frac{\tfrac{1}{x}}{n\,x^{n-1}}=\frac{1}{x}\cdot\frac{1}{n\,x^{n-1}}=\frac{1}{n\,x^{n}}.
Portanto
\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x^{n}} = \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{n\,x^{n}}.

Passo 5

Avaliar o limite final. Para todo n\ge 1 (isto é, para todo inteiro natural positivo) temos x^{n}\to+\infty quando x\to+\infty, então
\frac{1}{n\,x^{n}}\to 0.
Logo para todo n\in\mathbb{N} com n\ge 1 o limite é 0. Intuitivamente: potências polinomiais crescem muito mais rápido que o logaritmo, por isso a razão tende a zero.

Passo 6

Observação sobre o caso n=0 (dependendo da convenção usada para \mathbb{N}): se n=0 então a expressão é
\frac{\ln x}{x^{0}}=\ln x,
e portanto
\lim_{x\to+\infty}\ln x=+\infty,
ou seja o limite diverge para +\infty. Nesse caso não há forma indeterminada e a regra anterior não se aplica — a conclusão é imediata.

Passo 7

Resumo final e encorajamento: para qualquer inteiro natural positivo n a aplicação da regra das derivadas mostra em uma única etapa que o limite é 0. Isso é um resultado muito útil em provas: funções do tipo \ln x são dominadas por qualquer potência positiva de x.

Resposta

Para \,n\ge 1:\\\ 0
Para \,n=0:\\\ +\infty

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