Calcule os limites, aplicando a regra de L’Hopital, quando possível:
\)
\)
Passo 1
O enunciado pede o cálculo do limite
onde
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A variável
tende para . - A função no numerador é
. - A função no denominador é
, com natural (valor inteiro não negativo ou positivo dependendo da convenção; veremos o caso separadamente).
O que é pedido: determinar, para cadanatural, o valor do limite acima.
Passo 2
Análise do comportamento das partes quando
:
Portanto a forma é do tipo
, uma forma indeterminada. Quando temos uma razão com as duas partes tendendo a infinito, existe uma ferramenta que nos permite substituir a razão pelas razões das derivadas (desde que as funções sejam diferenciáveis em um intervalo adequado e que o limite das derivadas exista ou seja
). Essa ferramenta exige:
- que numerador e denominador sejam diferenciáveis em
para algum ; - que a razão das derivadas tenha limite finito ou infinito quando
.
Aqui essas hipóteses são satisfeitas para: e são diferenciáveis em . Logo podemos aplicar a regra mencionada (regra de L’Hôpital) para transformar o limite original no limite da razão das derivadas.
Passo 3
Calcular as derivadas envolvidas:
Aplicando a regra (substituindo pela razão das derivadas):
Passo 4
Simplificar a expressão obtida:
Portanto
Passo 5
Avaliar o limite final. Para todo
(isto é, para todo inteiro natural positivo) temos
quando
, então
Logo para todo
com
o limite é
. Intuitivamente: potências polinomiais crescem muito mais rápido que o logaritmo, por isso a razão tende a zero.
Passo 6
Observação sobre o caso
(dependendo da convenção usada para
): se
então a expressão é
e portanto
ou seja o limite diverge para
. Nesse caso não há forma indeterminada e a regra anterior não se aplica — a conclusão é imediata.
Passo 7
Resumo final e encorajamento: para qualquer inteiro natural positivo
a aplicação da regra das derivadas mostra em uma única etapa que o limite é
. Isso é um resultado muito útil em provas: funções do tipo
são dominadas por qualquer potência positiva de
.
Resposta
Para
Para
Para