Calcule os limites, aplicando a regra de L’Hopital, quando possível:
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações que temos do enunciado:
- A variável tende para
pela direita: . - Quando
temos , logo . - O produto envolve
multiplicando , ou seja, temos uma forma indeterminada do tipo .
O que se pede: calcular esse limite (usar a regra de L’Hôpital quando for possível).
Passo 2
Transformar a expressão para uma forma de quociente que permita aplicar a regra de L’Hôpital. Uma forma natural é dividir por
:
Agora vamos verificar os limites do numerador e do denominador quando
:
-
. -
.
Portanto o quociente tem a forma indeterminada, que é um caso adequado para aplicar a regra de L’Hôpital (que trata de formas ou ), desde que ambos sejam deriváveis numa vizinhança de (o que ocorre aqui). Vou aplicar L’Hôpital: derivar numerador e denominador em relação a .
Passo 3
Calcular as derivadas passo a passo (usando regra da cadeia).
- Derivada do numerador
: Aqui usei: derivada de é , e derivada de é . - Derivada do denominador
:
Pela regra de L’Hôpital o limite original é igual ao limite do quociente das derivadas (quando este existir):
Simplificando a expressão:
Passo 4
Avaliar
Faço a substituição auxiliar
. Quando
,
. Escrevo a expressão de forma conveniente:
Agora uso um limite padrão e muito útil:
. Dessa relação segue que
Portanto
. Assim
O primeiro fator
e o segundo é
, logo o produto é
. Portanto o limite procurado vale
.
Passo 5
Comentário didático rápido (opcional, para fixar a ideia): uma maneira heurística equivalente é usar a aproximação
para
pequeno, então
e
quando
. A técnica que o professor pediu (L’Hôpital) foi usada na solução formal acima. Força aí — esses limites com ln e sin são chatinhos mas viram com prática!