Calcule os limites, aplicando a regra de L’Hopital, quando possível:
\lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left[x \ln \left(\sin x^{2}\right)\right]

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to 0^{+}}\left[x\ln\big(\sin x^{2}\big)\right].
Informações que temos do enunciado:
  • A variável tende para 0 pela direita: x\to 0^{+}.
  • Quando x\to 0^{+} temos \sin x^{2}\to 0^{+}, logo \ln\big(\sin x^{2}\big)\to -\infty.
  • O produto envolve x\to 0^{+} multiplicando \ln(\sin x^{2})\to -\infty, ou seja, temos uma forma indeterminada do tipo 0\cdot(-\infty).
    O que se pede: calcular esse limite (usar a regra de L’Hôpital quando for possível).

Passo 2

Transformar a expressão para uma forma de quociente que permita aplicar a regra de L’Hôpital. Uma forma natural é dividir por 1/x:
x\ln\big(\sin x^{2}\big) = \frac{\ln\big(\sin x^{2}\big)}{1/x}.
Agora vamos verificar os limites do numerador e do denominador quando x\to 0^{+}:
  • \ln\big(\sin x^{2}\big)\to -\infty.
  • 1/x\to +\infty.
    Portanto o quociente tem a forma indeterminada -\infty/+ \infty, que é um caso adequado para aplicar a regra de L’Hôpital (que trata de formas \pm\infty/\pm\infty ou 0/0), desde que ambos sejam deriváveis numa vizinhança de 0^{+} (o que ocorre aqui). Vou aplicar L’Hôpital: derivar numerador e denominador em relação a x.

Passo 3

Calcular as derivadas passo a passo (usando regra da cadeia).
  • Derivada do numerador \ln\big(\sin x^{2}\big): \frac{d}{dx}\ln\big(\sin x^{2}\big) = \frac{1}{\sin x^{2}}\cdot\frac{d}{dx}\big(\sin x^{2}\big) = \frac{1}{\sin x^{2}}\cdot\cos x^{2}\cdot 2x = 2x\cot\big(x^{2}\big).Aqui usei: derivada de \ln u é u'/u, e derivada de \sin x^{2} é \cos x^{2}\cdot 2x.
  • Derivada do denominador 1/x: \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right) = -\frac{1}{x^{2}}.
Pela regra de L’Hôpital o limite original é igual ao limite do quociente das derivadas (quando este existir):
\lim_{x\to 0^{+}}\frac{\ln\big(\sin x^{2}\big)}{1/x} = \lim_{x\to 0^{+}}\frac{2x\cot\big(x^{2}\big)}{-1/x^{2}}.
Simplificando a expressão:
\frac{2x\cot(x^{2})}{-1/x^{2}} = -2x^{3}\cot\big(x^{2}\big).

Passo 4

Avaliar
\lim_{x\to 0^{+}} -2x^{3}\cot\big(x^{2}\big).
Faço a substituição auxiliar \,t=x^{2}\,. Quando x\to 0^{+}, t\to 0^{+}. Escrevo a expressão de forma conveniente:
-2x^{3}\cot(x^{2}) = -2x\cdot\big(x^{2}\cot(x^{2})\big) = -2x\cdot\big(t\cot t\big).
Agora uso um limite padrão e muito útil: \lim_{t\to 0}\dfrac{\sin t}{t}=1. Dessa relação segue que
\lim_{t\to 0} t\cot t = \lim_{t\to 0} \frac{t\cos t}{\sin t} = \lim_{t\to 0} \frac{t}{\sin t}\cdot\cos t = 1\cdot 1 = 1.
Portanto \lim_{x\to 0^{+}} x^{2}\cot(x^{2}) = 1. Assim
\lim_{x\to 0^{+}} -2x^{3}\cot(x^{2}) = \lim_{x\to 0^{+}} \big(-2x\big)\cdot\big(x^{2}\cot(x^{2})\big) = \big(\lim_{x\to 0^{+}} -2x\big)\cdot\big(\lim_{x\to 0^{+}} x^{2}\cot(x^{2})\big).
O primeiro fator \lim_{x\to 0^{+}} -2x = 0 e o segundo é 1, logo o produto é 0. Portanto o limite procurado vale 0.

Passo 5

Comentário didático rápido (opcional, para fixar a ideia): uma maneira heurística equivalente é usar a aproximação \sin x^{2}\sim x^{2} para x pequeno, então \ln(\sin x^{2})\sim \ln(x^{2})=2\ln x e x\cdot 2\ln x\to 0 quando x\to 0^{+}. A técnica que o professor pediu (L’Hôpital) foi usada na solução formal acima. Força aí — esses limites com ln e sin são chatinhos mas viram com prática!

Resposta

0

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