Calcule os limites, aplicando a regra de L’Hopital, quando possível:
Passo 1
O enunciado pede calcular
Informações dadas (explícitas no enunciado):
- A variável
tende para pela direita ( ). - As funções envolvidas são
e . - Será aplicado o critério da regra de L’Hôpital “quando possível”.
Passo 2
Verificar o comportamento das funções no numerador e no denominador quando
.
- Para
temos e . - Como
quando , segue que
Portanto a forma é indeterminada do tipo
, o que permite tentar aplicar a regra de L’Hôpital (se as hipóteses dela forem satisfeitas).
Passo 3
Lembrete didático: enunciado da regra de L’Hôpital (versão usada aqui).
Se e
são diferenciáveis em um intervalo aberto à direita de
(exceto possivelmente em
), e se
Se
então, se o limite
existe (finito ou
), vale
No nosso caso,
e
. Essas funções são diferenciáveis para
, portanto as hipóteses locais estão atendidas perto de
.
Passo 4
Calcular as derivadas necessárias (mostrando passo a passo).
- Derivada de
:
logo
- Derivada de
:
Passo 5
Aplicar a regra de L’Hôpital: o limite original é igual ao limite das derivadas (se este existir). Assim consideramos
Simplificar essa expressão algébricamente:
Usando a identidade
, temos
Multiplicando pelo
externo:
Passo 6
Calcular o limite simplificado quando
:
Como
e
é contínua,
Pelo passo anterior e pela regra de L’Hôpital, isso implica que o limite original também é
.
Passo 7
Para fixar a intuição: uma verificação rápida usando aproximações mostra a mesma coisa. Para
pequeno
e
, então
e como
quando
, o termo
, dando limite
. Isso concorda com o resultado obtido por L’Hôpital.