Calcule os limites, aplicando a regra de L’Hopital, quando possível:
\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\ln (\operatorname{sen} 2 x)}{\ln (\operatorname{sen} x)}

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{x\to 0^{+}} \frac{\ln(\operatorname{sen} 2x)}{\ln(\operatorname{sen} x)}.
Informações dadas (explícitas no enunciado):
  • A variável x tende para 0 pela direita ( x\to 0^{+}).
  • As funções envolvidas são x\mapsto \ln(\operatorname{sen} 2x) e x\mapsto \ln(\operatorname{sen} x).
  • Será aplicado o critério da regra de L’Hôpital “quando possível”.

Passo 2

Verificar o comportamento das funções no numerador e no denominador quando x\to 0^{+}.
  • Para x\to 0^{+} temos \operatorname{sen} x\to 0^{+} e \operatorname{sen} 2x\to 0^{+}.
  • Como \ln t\to -\infty quando t\to 0^{+}, segue que \ln(\operatorname{sen} 2x)\to -\infty\qquad\text{e}\qquad \ln(\operatorname{sen} x)\to -\infty.
Portanto a forma é indeterminada do tipo -\infty/-\infty, o que permite tentar aplicar a regra de L’Hôpital (se as hipóteses dela forem satisfeitas).

Passo 3

Lembrete didático: enunciado da regra de L’Hôpital (versão usada aqui).
Se f e g são diferenciáveis em um intervalo aberto à direita de 0 (exceto possivelmente em 0), e se
\lim_{x\to 0^{+}} f(x) = \lim_{x\to 0^{+}} g(x) = \pm\infty,
então, se o limite
\lim_{x\to 0^{+}} \frac{f'(x)}{g'(x)}
existe (finito ou \pm\infty), vale
\lim_{x\to 0^{+}} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to 0^{+}} \frac{f'(x)}{g'(x)}.
No nosso caso, f(x)=\ln(\operatorname{sen} 2x) e g(x)=\ln(\operatorname{sen} x). Essas funções são diferenciáveis para x\in(0,\pi/2), portanto as hipóteses locais estão atendidas perto de 0^{+}.

Passo 4

Calcular as derivadas necessárias (mostrando passo a passo).
  • Derivada de f(x)=\ln(\operatorname{sen} 2x): f'(x)=\frac{d}{dx}\ln(\operatorname{sen} 2x)=\frac{1}{\operatorname{sen} 2x}\cdot\frac{d}{dx}(\operatorname{sen} 2x)
\frac{d}{dx}(\operatorname{sen} 2x)=2\cos 2x,
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f'(x)=\frac{2\cos 2x}{\operatorname{sen} 2x}=2\cot 2x.
  • Derivada de g(x)=\ln(\operatorname{sen} x): g'(x)=\frac{d}{dx}\ln(\operatorname{sen} x)=\frac{1}{\operatorname{sen} x}\cdot\cos x=\cot x.

Passo 5

Aplicar a regra de L’Hôpital: o limite original é igual ao limite das derivadas (se este existir). Assim consideramos
\lim_{x\to 0^{+}} \frac{f'(x)}{g'(x)}=\lim_{x\to 0^{+}} \frac{2\cot 2x}{\cot x}.
Simplificar essa expressão algébricamente:
\frac{2\cot 2x}{\cot x}=2\cdot\frac{\cot 2x}{\cot x} =2\cdot\frac{\dfrac{\cos 2x}{\operatorname{sen} 2x}}{\dfrac{\cos x}{\operatorname{sen} x}} =2\cdot\frac{\cos 2x}{\operatorname{sen} 2x}\cdot\frac{\operatorname{sen} x}{\cos x}.
Usando a identidade \operatorname{sen} 2x=2\operatorname{sen} x\cos x, temos
\frac{\cos 2x}{\operatorname{sen} 2x}\cdot\frac{\operatorname{sen} x}{\cos x} =\frac{\cos 2x}{2\operatorname{sen} x\cos x}\cdot\frac{\operatorname{sen} x}{\cos x} =\frac{\cos 2x}{2\cos^2 x}.
Multiplicando pelo 2 externo:
2\cdot\frac{\cos 2x}{2\cos^2 x}=\frac{\cos 2x}{\cos^2 x}.

Passo 6

Calcular o limite simplificado quando x\to 0^{+}:
\lim_{x\to 0^{+}}\frac{\cos 2x}{\cos^2 x}.
Como \cos 0=1 e \cos é contínua,
\lim_{x\to 0^{+}}\frac{\cos 2x}{\cos^2 x}=\frac{\cos 0}{\cos^2 0}=\frac{1}{1}=1.
Pelo passo anterior e pela regra de L’Hôpital, isso implica que o limite original também é 1.

Passo 7

Para fixar a intuição: uma verificação rápida usando aproximações mostra a mesma coisa. Para x pequeno \operatorname{sen} x\approx x e \operatorname{sen} 2x\approx 2x, então
\frac{\ln(\operatorname{sen} 2x)}{\ln(\operatorname{sen} x)}\approx\frac{\ln(2x)}{\ln x}=\frac{\ln 2+\ln x}{\ln x}=1+\frac{\ln 2}{\ln x},
e como \ln x\to -\infty quando x\to 0^{+}, o termo \dfrac{\ln 2}{\ln x}\to 0, dando limite 1. Isso concorda com o resultado obtido por L’Hôpital.

Resposta

1

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