(Ufpr 2012) Uma quantia inicial de \mathrm{R} \ 1.000,00 foi investida em uma aplicação financeira que rende juros deçã6 % , compostos anualmente. Qual é, aproximadamente, o tempo necessário para que essa quantia dobre? \(\left(\right. Use)\log _{2}(1,06) \approx 0,084$.)
R: t=11,9 anos

Passo 1

O enunciado dá uma quantia inicial de \mathrm{R}\$\,1\,000{,}00 investida com juros compostos anuais de 6\% e pergunta quanto tempo é necessário para que a quantia dobre. Informação útil fornecida: \log_{2}(1,06)\approx0,084.
Dados relevantes:
  • Capital inicial: P_0=\mathrm{R}\$\,1\,000{,}00.
  • Taxa de juros anual: r=6\% = 0{,}06.
  • Juros compostos anualmente.
  • Objetivo: encontrar o tempo t (em anos) tal que o montante seja o dobro do capital inicial.

Passo 2

Modelo matemático (fórmula dos juros compostos). Para juros compostos anuais, o montante A após t anos é dado por
A = P_0(1+r)^{t},
onde:
  • A é o montante final,
  • P_0 é o capital inicial,
  • r é a taxa de juros por período (aqui anual),
  • t é o número de períodos (anos).
    Essa fórmula vem do fato de que a cada ano o capital é multiplicado por 1+r; após t anos multiplica-se P_0 por 1+r repetidamente t vezes, ou seja, por (1+r)^t.

Passo 3

Aplicar a condição “dobrar”: queremos A=2P_0. Substituindo na fórmula:
2P_0 = P_0(1+0{,}06)^{t}.
Cancelando P_0 (assumindo P_0>0) obtemos a equação que determina t:
(1{,}06)^{t} = 2.
Para resolver equações em que a incógnita está no expoente usamos logaritmos. Lembrete rápido sobre logaritmos: \log_{b}(a) é o número que satisfaz b^{\log_{b}(a)}=a. Propriedade útil: \log_{b}(x^{k})=k\log_{b}(x).

Passo 4

Aplicando logaritmo (qualquer base) na equação (1{,}06)^{t}=2, por exemplo com ln, obtemos
t = \frac{\ln 2}{\ln(1{,}06)}.
Outra forma equivalente, usando a definição de logaritmo em base 2, é
t = \frac{1}{\log_{2}(1{,}06)},
pois \log_{2}(1{,}06)=\dfrac{\ln(1{,}06)}{\ln 2} e portanto t=\dfrac{\ln 2}{\ln(1{,}06)}=\dfrac{1}{\log_{2}(1{,}06)}. Essa segunda forma é prática porque o enunciado deu \log_{2}(1{,}06) já aproximado.

Passo 5

Usando a aproximação fornecida \log_{2}(1{,}06)\approx0{,}084, temos
t \approx \frac{1}{0{,}084}.
Fazendo a divisão:
\frac{1}{0{,}084}\approx 11{,}9047619\ldots
Arredondando para uma casa decimal (como no enunciado da resposta aproximada):
t \approx 11{,}9\\ \text{anos}.
Comentário prático: a “regra dos 72” dá uma estimativa rápida 72/6=12 anos, bem próxima do resultado exato, o que ajuda em provas quando não se tem calculadora.

Resposta

t=11{,}9\\ \text{anos}

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