(Ufpr 2012) Uma quantia inicial de
1.000,00
6 %
Use)\log _{2}(1,06) \approx 0,084$.)
R:
anos
Passo 1
O enunciado dá uma quantia inicial de
investida com juros compostos anuais de
e pergunta quanto tempo é necessário para que a quantia dobre. Informação útil fornecida:
.
Dados relevantes:
Dados relevantes:
- Capital inicial:
. - Taxa de juros anual:
. - Juros compostos anualmente.
- Objetivo: encontrar o tempo
(em anos) tal que o montante seja o dobro do capital inicial.
Passo 2
Modelo matemático (fórmula dos juros compostos). Para juros compostos anuais, o montante
após
anos é dado por
onde:
-
é o montante final, -
é o capital inicial, -
é a taxa de juros por período (aqui anual), -
é o número de períodos (anos).
Essa fórmula vem do fato de que a cada ano o capital é multiplicado por; após anos multiplica-se por repetidamente vezes, ou seja, por .
Passo 3
Aplicar a condição “dobrar”: queremos
. Substituindo na fórmula:
Cancelando
(assumindo
) obtemos a equação que determina
:
Para resolver equações em que a incógnita está no expoente usamos logaritmos. Lembrete rápido sobre logaritmos:
é o número que satisfaz
. Propriedade útil:
.
Passo 4
Aplicando logaritmo (qualquer base) na equação
, por exemplo com ln, obtemos
Outra forma equivalente, usando a definição de logaritmo em base
, é
pois
e portanto
. Essa segunda forma é prática porque o enunciado deu
já aproximado.
Passo 5
Usando a aproximação fornecida
, temos
Fazendo a divisão:
Arredondando para uma casa decimal (como no enunciado da resposta aproximada):
Comentário prático: a “regra dos 72” dá uma estimativa rápida
anos, bem próxima do resultado exato, o que ajuda em provas quando não se tem calculadora.