Calcule os limites aplicando a regra de L’Hôspital
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{a(a+x)}-a}{x}, a>0

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{a(a+x)}-a}{x},
onde foi dada a informação a>0.
Informações relevantes que já temos: o numerador é \sqrt{a(a+x)}-a e o denominador é x. Não há mais dados. O objetivo é encontrar o valor desse limite quando x tende a 0.

Passo 2

Verificar a forma do limite (para saber se podemos aplicar a regra de L’Hôpital). Calculamos os limites das partes separadamente quando x\to 0:
\sqrt{a(a+x)}\xrightarrow[x\to0]{} \sqrt{a\cdot a}=\sqrt{a^2}=a\quad(\text{pois }a>0),
então o numerador tende a a-a=0. O denominador x tende a 0. Logo o quociente tem forma indeterminada 0/0. Essa é exatamente a forma em que a regra de L’Hôpital pode ser usada, desde que as derivadas existam em torno de 0.

Passo 3

Lembrete da regra de L’Hôpital (de forma prática): se \lim_{x\to c} f(x)=0 e \lim_{x\to c} g(x)=0 e f e g são diferenciáveis numa vizinhança de c (exceto possivelmente em c), então
\lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)},
desde que o limite do lado direito exista. Aqui f(x)=\sqrt{a(a+x)}-a e g(x)=x. Vamos calcular f'(x) e g'(x).

Passo 4

Calcular g'(x) é imediato:
g'(x)=\frac{d}{dx}x=1.

Passo 5

Calcular f'(x). Vou explicar passo a passo usando a regra da cadeia. Seja
u(x)=a(a+x)=a^2+ax,
então f(x)=\sqrt{u(x)}-a. A derivada da raiz é, por regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\sqrt{u(x)}=\frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}.
Aqui u'(x)=\frac{d}{dx}(a^2+ax)=a (porque a^2 é constante e a derivada de ax em relação a x é a). Assim
f'(x)=\frac{a}{2\sqrt{u(x)}}-\;0=\frac{a}{2\sqrt{a(a+x)}}.

Passo 6

Aplicando a regra de L’Hôpital temos
\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{a(a+x)}-a}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{f'(x)}{g'(x)}=\lim_{x\to 0}\frac{a}{2\sqrt{a(a+x)}}.
Agora basta avaliar esse limite em x=0.

Passo 7

Avaliar a expressão no ponto x=0:
\lim_{x\to 0}\frac{a}{2\sqrt{a(a+x)}}=\frac{a}{2\sqrt{a\cdot a}}=\frac{a}{2\sqrt{a^2}}.
Como a>0 temos \sqrt{a^2}=a, portanto
\frac{a}{2\sqrt{a^2}}=\frac{a}{2a}=\frac{1}{2}.

Resposta

\tfrac{1}{2}

Exercícios relacionados