Calcule os limites aplicando a regra de L’Hôspital \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{a(a+x)}-a}{x}, a>0
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{a(a+x)}-a}{x},
onde foi dada a informação a>0.
Informações relevantes que já temos: o numerador é \sqrt{a(a+x)}-a e o denominador é x. Não há mais dados. O objetivo é encontrar o valor desse limite quando x tende a 0.
Passo 2
Verificar a forma do limite (para saber se podemos aplicar a regra de L’Hôpital). Calculamos os limites das partes separadamente quando x\to 0:
então o numerador tende a a-a=0. O denominador x tende a 0. Logo o quociente tem forma indeterminada 0/0. Essa é exatamente a forma em que a regra de L’Hôpital pode ser usada, desde que as derivadas existam em torno de 0.
Passo 3
Lembrete da regra de L’Hôpital (de forma prática): se \lim_{x\to c} f(x)=0 e \lim_{x\to c} g(x)=0 e f e g são diferenciáveis numa vizinhança de c (exceto possivelmente em c), então