Calcule os limites aplicando a regra de L’Hôspital
\lim _{x \rightarrow \pi / 4} \frac{\sin x-\cos x}{x-\pi / 4}

Passo 1

O enunciado pede: calcular o limite
\lim_{x\to \pi/4}\frac{\sin x-\cos x}{x-\pi/4}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado e observações diretas:
  • O ponto de interesse é x=\pi/4.
  • Sabemos que \sin(\pi/4)=\cos(\pi/4)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.
  • Portanto, ao substituir x=\pi/4: \sin x-\cos x \to \sin(\pi/4)-\cos(\pi/4)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}=0,e x-\pi/4 \to \pi/4-\pi/4=0.
  • Conclusão (apenas como informação): a expressão tende a uma forma indeterminada 0/0 quando x\to\pi/4.

Passo 2

Por causa da forma indeterminada 0/0 identificada no passo anterior, vamos aplicar a regra de L’Hôpital (o enunciado já pediu isso). Vou explicar a regra de forma didática e simples:
  • Teorema (versão prática que usaremos): se f e g são funções diferenciáveis numa vizinhança de a (exceto possivelmente em a), e se \lim_{x\to a} f(x)=0,\qquad \lim_{x\to a} g(x)=0,e g'(x)\neq 0 perto de a (exceto possivelmente em a), então, se existir o limite \lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)},temos \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}.
  • Intuição rápida: em torno de a as funções se comportam, em primeira aproximação, como suas retas tangentes; dividir as retas tangentes dá o mesmo limite do quociente original quando ambos vão a zero.
  • No nosso caso podemos tomar f(x)=\sin x-\cos x e g(x)=x-\pi/4. Ambas são diferenciáveis em toda a reta real, e g'(x) é igual a 1, não nulo. Então as hipóteses da regra estão satisfeitas e podemos substituir o quociente original pelo quociente das derivadas.

Passo 3

Calcular as derivadas de f e g. Vou explicar cada derivada passo a passo:
  • Regra básica que usamos: a derivada de \sin x é \cos x; a derivada de \cos x é -\sin x; a derivada de x é 1.
  • Para f(x)=\sin x-\cos x: f'(x)=\frac{d}{dx}(\sin x)-\frac{d}{dx}(\cos x)=\cos x-(-\sin x)=\cos x+\sin x.Note que a derivada de -\cos x é -1 vezes a derivada de \cos x, ou seja -(-\sin x)=+\sin x.
  • Para g(x)=x-\pi/4: g'(x)=\frac{d}{dx}(x)-\frac{d}{dx}(\pi/4)=1-0=1.(Constante tem derivada zero.)

Passo 4

Aplicando a regra de L’Hôpital, substituímos o limite original pelo limite do quociente das derivadas:
\lim_{x\to \pi/4}\frac{\sin x-\cos x}{x-\pi/4} = \lim_{x\to \pi/4}\frac{f'(x)}{g'(x)} = \lim_{x\to \pi/4}\frac{\cos x+\sin x}{1}.
Agora podemos avaliar por substituição direta (já que o resultado não é uma forma indeterminada):
  • Substituindo x=\pi/4, \cos(\pi/4)+\sin(\pi/4)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}.
  • Somando os termos: \dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}=2\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}.

Passo 5

Resumo do raciocínio final (rápido e motivador): tínhamos uma forma 0/0, aplicamos a regra de L’Hôpital porque as funções eram diferenciáveis e o denominador tinha derivada não nula, derivamos numerador e denominador, e avaliamos o limite da função resultante por substituição direta, chegando a \sqrt{2}. Boa! Você segurou o processo completo.

Resposta

\sqrt{2}

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