Calcule os limites aplicando a regra de L’Hôspital
Passo 1
O enunciado pede: calcular o limite
Informações relevantes dadas pelo enunciado e observações diretas:
- O ponto de interesse é
. - Sabemos que
. - Portanto, ao substituir
: e - Conclusão (apenas como informação): a expressão tende a uma forma indeterminada
quando .
Passo 2
Por causa da forma indeterminada
identificada no passo anterior, vamos aplicar a regra de L’Hôpital (o enunciado já pediu isso). Vou explicar a regra de forma didática e simples:
- Teorema (versão prática que usaremos): se
e são funções diferenciáveis numa vizinhança de (exceto possivelmente em ), e se e perto de (exceto possivelmente em ), então, se existir o limite temos - Intuição rápida: em torno de
as funções se comportam, em primeira aproximação, como suas retas tangentes; dividir as retas tangentes dá o mesmo limite do quociente original quando ambos vão a zero. - No nosso caso podemos tomar
e . Ambas são diferenciáveis em toda a reta real, e é igual a , não nulo. Então as hipóteses da regra estão satisfeitas e podemos substituir o quociente original pelo quociente das derivadas.
Passo 3
Calcular as derivadas de
e
. Vou explicar cada derivada passo a passo:
- Regra básica que usamos: a derivada de
é ; a derivada de é ; a derivada de é . - Para
: Note que a derivada de é vezes a derivada de , ou seja . - Para
: (Constante tem derivada zero.)
Passo 4
Aplicando a regra de L’Hôpital, substituímos o limite original pelo limite do quociente das derivadas:
Agora podemos avaliar por substituição direta (já que o resultado não é uma forma indeterminada):
- Substituindo
, - Somando os termos:
Passo 5
Resumo do raciocínio final (rápido e motivador): tínhamos uma forma
, aplicamos a regra de L’Hôpital porque as funções eram diferenciáveis e o denominador tinha derivada não nula, derivamos numerador e denominador, e avaliamos o limite da função resultante por substituição direta, chegando a
. Boa! Você segurou o processo completo.