Calcule os limites, caso existam:
\lim _{x \rightarrow 8} \frac{-x^{2}+10 x-16}{2 x^{2}-14 x-16}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o seguinte limite:
\lim_{x\to 8} \frac{-x^{2}+10x-16}{2x^{2}-14x-16}.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A função cuja razão queremos estudar é \dfrac{-x^{2}+10x-16}{2x^{2}-14x-16}.
  • O ponto ao qual x se aproxima é x=8.
  • Devemos determinar se o limite existe e, se existir, calcular o seu valor.

Passo 2

Primeiro passo prático: testar substituição direta para ver se obtemos um valor finito imediato ou uma indeterminação. Calcular numerador e denominador em x=8.
Numerador:
-x^{2}+10x-16\Big|_{x=8} = -(8)^{2} + 10\cdot 8 - 16 = -64 + 80 - 16 = 0.
Denominador:
2x^{2}-14x-16\Big|_{x=8} = 2\cdot 64 - 14\cdot 8 - 16 = 128 - 112 - 16 = 0.
Concluímos que a substituição direta dá a forma indeterminada \dfrac{0}{0}. Quando isso acontece, não podemos determinar o limite apenas pela substituição; é preciso simplificar a expressão ou usar outro método (por exemplo, regra de L’Hôpital). Aqui vamos usar simplificação algébrica por fatoração — é um método elementar e eficiente para racionais em que numerador e denominador são polinômios.

Passo 3

Fatorar o numerador passo a passo. Escrevemos
-x^{2}+10x-16 = -\bigl(x^{2}-10x+16\bigr).
Agora fatoramos x^{2}-10x+16. Procuramos dois números que multiplicam 16 e somam -10 (ou +10 se tirarmos o sinal negativo). Esses números são 2 e 8 porque 2\cdot 8 = 16 e 2+8=10. Assim,
x^{2}-10x+16 = (x-2)(x-8).
Portanto o numerador fica
-x^{2}+10x-16 = -(x-2)(x-8).

Passo 4

Fatorar o denominador. Começamos por fator comum:
2x^{2}-14x-16 = 2\bigl(x^{2}-7x-8\bigr).
Agora fatoramos x^{2}-7x-8. Procuramos dois números que multiplicam -8 e somam -7; esses números são -8 e 1, então
x^{2}-7x-8 = (x-8)(x+1).
Logo o denominador fatorado é
2x^{2}-14x-16 = 2(x-8)(x+1).

Passo 5

Reescrever a fração usando as fatorações obtidas:
\frac{-x^{2}+10x-16}{2x^{2}-14x-16} = \frac{-(x-2)(x-8)}{2(x-8)(x+1)}.
Para x\neq 8 podemos cancelar o fator comum (x-8), ficando
\frac{-(x-2)}{2(x+1)}.
Explicação rápida e importante: o cancelamento é válido para todos os x diferentes de 8. Como o limite \lim_{x\to 8} só se preocupa com valores de x próximos de 8 (mas não necessariamente igual a 8), podemos usar a expressão simplificada para calcular o limite.
Agora calculamos o limite da expressão simplificada substituindo x=8:
\lim_{x\to 8}\frac{-(x-2)}{2(x+1)} = \frac{-(8-2)}{2(8+1)} = \frac{-6}{2\cdot 9} = \frac{-6}{18} = -\frac{1}{3}.

Passo 6

Conclusão: a indeterminação foi resolvida por fatoração e cancelamento, e o limite existe e é igual a -\tfrac{1}{3}. (Escolhi fatoração porque é direto e usa apenas álgebra elementar; a regra de L’Hôpital daria o mesmo resultado mas exige derivadas.)

Resposta

-\frac{1}{3}

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