A função cuja razão queremos estudar é \dfrac{-x^{2}+10x-16}{2x^{2}-14x-16}.
O ponto ao qual x se aproxima é x=8.
Devemos determinar se o limite existe e, se existir, calcular o seu valor.
Passo 2
Primeiro passo prático: testar substituição direta para ver se obtemos um valor finito imediato ou uma indeterminação. Calcular numerador e denominador em x=8.
Concluímos que a substituição direta dá a forma indeterminada \dfrac{0}{0}. Quando isso acontece, não podemos determinar o limite apenas pela substituição; é preciso simplificar a expressão ou usar outro método (por exemplo, regra de L’Hôpital). Aqui vamos usar simplificação algébrica por fatoração — é um método elementar e eficiente para racionais em que numerador e denominador são polinômios.
Passo 3
Fatorar o numerador passo a passo. Escrevemos
-x^{2}+10x-16 = -\bigl(x^{2}-10x+16\bigr).
Agora fatoramos x^{2}-10x+16. Procuramos dois números que multiplicam 16 e somam -10 (ou +10 se tirarmos o sinal negativo). Esses números são 2 e 8 porque 2\cdot 8 = 16 e 2+8=10. Assim,
x^{2}-10x+16 = (x-2)(x-8).
Portanto o numerador fica
-x^{2}+10x-16 = -(x-2)(x-8).
Passo 4
Fatorar o denominador. Começamos por fator comum:
2x^{2}-14x-16 = 2\bigl(x^{2}-7x-8\bigr).
Agora fatoramos x^{2}-7x-8. Procuramos dois números que multiplicam -8 e somam -7; esses números são -8 e 1, então
Para x\neq 8 podemos cancelar o fator comum (x-8), ficando
\frac{-(x-2)}{2(x+1)}.
Explicação rápida e importante: o cancelamento é válido para todos os x diferentes de 8. Como o limite \lim_{x\to 8} só se preocupa com valores de x próximos de 8 (mas não necessariamente igual a 8), podemos usar a expressão simplificada para calcular o limite.
Agora calculamos o limite da expressão simplificada substituindo x=8:
Conclusão: a indeterminação foi resolvida por fatoração e cancelamento, e o limite existe e é igual a -\tfrac{1}{3}. (Escolhi fatoração porque é direto e usa apenas álgebra elementar; a regra de L’Hôpital daria o mesmo resultado mas exige derivadas.)