Determinar:
\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n}

Passo 1

O enunciado pede o limite da sequência
a_n=\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n}
quando n\to\infty. Informações dadas e perguntas claras:
  • Dado: a sequência \{a_n\} com termos \left(1-\dfrac{1}{n}\right)^{n}, definida para inteiros n\ge 1.
  • Pedido: calcular \displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n.

Passo 2

Estratégia padrão (explicação didática): quando uma sequência tem a forma \text{algo}^{n} ou \text{algo}^{\text{função de }n}çã, é útil estudar o logaritmo natural do termo para transformar potência em produto. Defina
b_n=\ln(a_n)=\ln\!\left(\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n}\right).
Propriedade usada (justificativa): a função exponencial \exp(x) é contínua, então se \lim_{n\to\infty} b_n=L existe finito, então
\lim_{n\to\infty} a_n=\lim_{n\to\infty} e^{b_n}=e^{L}.
Portanto basta calcular \lim_{n\to\infty} b_n.

Passo 3

Calcule b_n explicitamente:
b_n=n\ln\!\left(1-\frac{1}{n}\right).
Para estudar esse limite, faça a substituição útil \,t=-\dfrac{1}{n}. Então t\to 0 quando n\to\infty, e
b_n = -\frac{\ln(1+t)}{t},
com t\to 0 (observe que t<0, mas isso não atrapalha o limite). Assim
\lim_{n\to\infty} b_n = -\lim_{t\to 0}\frac{\ln(1+t)}{t}.

Passo 4

Avalie \displaystyle\lim_{t\to 0}\dfrac{\ln(1+t)}{t}. Esse é um limite clássico; uma forma direta de ver o valor é aplicar a Regra de L’Hôpital (é uma indeterminação do tipo 0/0). Diferenciando numerador e denominador em relação a t obtemos
\lim_{t\to 0}\frac{\ln(1+t)}{t}=\lim_{t\to 0}\frac{\tfrac{d}{dt}\ln(1+t)}{\tfrac{d}{dt}t} =\lim_{t\to 0}\frac{1}{1+t}=1.
Portanto
\lim_{n\to\infty} b_n = -1.

Passo 5

Agora use a continuidade da exponencial: se b_n\to -1, então a_n=e^{b_n}\to e^{-1}. Conclusão lógica pronta — o limite da sequência original é e^{-1}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{e}

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