Calcule os limites, caso existam:
\lim _{x \rightarrow-0,02} \frac{x}{|x|}

Passo 1

O enunciado pede que se calcule o limite
\lim_{x\to -0,02} \frac{x}{|x|}.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A função é f(x)=\dfrac{x}{|x|}.
  • O ponto de interesse é x\to -0,02, que é um número negativo e diferente de zero.
  • É importante saber o comportamento de |x| para x<0 e para x>0 (essa informação será usada na resolução).

Passo 2

Entendendo o valor absoluto |x|\) de forma bem simples e prática: - Por definição, \(|x|\) mede a distância de \(x\) até zero, portanto \[|x|=\begin{cases} x, & \text{se } x\ge 0,\\[4pt] -\,x, & \text{se } x<0. \end{cases}
Exemplo rápido: para x=3\] tem-se \(|3|=3; para x=-5 tem-se |-5|=-(-5)=5.]

Passo 3

Agora simplificamos a expressão \dfrac{x}{|x|} usando a definição de |x| segundo o sinal de x.
  • Se x>0, então |x|=x e
\frac{x}{|x|}=\frac{x}{x}=1\quad\text{(para \(x>0\)).}
  • Se x<0, então |x|=-x e, desde que x\neq 0,
\frac{x}{|x|}=\frac{x}{-x}=-1\quad\text{(para \(x<0\)).}
Portanto a função f(x)=\dfrac{x}{|x|} vale 1 para x>0 e vale -1 para x<0. Em x=0 a expressão não está definida.

Passo 4

Aplicando isso ao limite pedido: como o ponto de aproximação é -0,02, que é negativo, existe um intervalo ao redor de -0,02 contendo apenas números negativos (por exemplo, qualquer \delta com 0<\delta<0,02 faz com que se |x+0,02|<\delta então x<0). Nessa vizinhança toda temos, para todo x diferente de zero, \dfrac{x}{|x|}=-1.
Um esqueleto de prova \varepsilon- \delta bem curto: dado \varepsilon>0, escolha \delta=\min(0,01,\dots) tal que se |x+0,02|<\delta então x<0; para tais x vale \left|\dfrac{x}{|x|}+1\right|=0<\varepsilon. Logo o limite existe e é igual ao valor constante que a função assume nessa vizinhança.

Passo 5

Dica prática para a prova (modo amigo): quando a expressão envolve |x| e o ponto de aproximação não é zero, primeiro veja se o ponto é positivo ou negativo. Substitua |x| por x ou por -x conforme o caso e avalie. Apenas quando o ponto for 0 aí é preciso olhar limites laterais com mais cuidado.

Resposta

-1

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