Calcule os limites caso existam.
lim x -infty raiz4 x^2+x+2 x

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos calcular o limite
limxto -inftyl(raiz4x^2+x+2xr)
O conteúdo aqui é limites no infinito com termos anulando-se mutuamente, e vamos usar fatoração de x^2 sob a raiz e uma técnica de racionalização para lidar com a indeterminação do tipo infty-infty.

Passo 2

Para xto -infty, temos
raiz4x^2+x =raiz4x^2l(1+14xr) =|x|raiz4l(1+14xr)
Como x é negativo nessa situação, |x|=-x, logo
raiz4x^2+x=-2x,raiz1+14x

Passo 3

Em vez de expandir direto em série, vamos racionalizar a soma
raiz4x^2+x+2x
multiplicando numerador e denominador pela conjugada:
raiz4x^2+x+2x =l(raiz4x^2+x+2xr)l(raiz4x^2+x-2xr)raiz4x^2+x-2x =4x^2+x-4x^2raiz4x^2+x-2x =xraiz4x^2+x-2x

Passo 4

Substituindo a forma de raiz4x^2+x do Passo 2 no denominador,
raiz4x^2+x-2x =-2xraiz1+14x-2x =-2xl(raiz1+tfrac14x+1r)
Logo
raiz4x^2+x+2x =x-2xl(raiz1+tfrac14x+1r) =-12l(raiz1+tfrac14x+1r)

Passo 5

Agora basta tomar xto -infty, em que raiz1+tfrac14xto1. Portanto
limxto -inftyl(raiz4x^2+x+2xr) =-12(1+1) =-14

Resposta

-,14

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