Determine as soluções, constantes e não constantes, das equações abaixo:
d yd x=ln x

Passo 1

O enunciado pede as soluções constantes e não constantes da equação diferencial de primeira ordem
dydx = ln x
Esse é um ODE de variáveis separáveis ou integrável diretamente, pois o lado direito depende só de x.

Passo 2

Para buscar soluções constantes, suponha y(x)=K com K constante. Então dy/dx=0 e a equação exige
0 = ln x,
o que só acontece em x=1. Não existe um intervalo em que ln x seja identicamente zero, logo não há solução constante válida numa vizinhança de x.

Passo 3

Agora procuramos as soluções não constantes integrando ambos os lados. Escrevemos
dy = ln x,dx
e integramos:

Passo 4

Para calcular integral ln x,dx usamos integração por partes com u=ln x e dv=dx. Então du=1xdx e v=x, obtendo
integral ln x,dx = xln x - integral xcdot1x,dx = xln x - integral 1,dx = xln x - x + C
Portanto a família geral de soluções é
y(x) = xln x - x + C

Resposta

A equação não admite solução constante. A solução geral não constante é
y(x) = xln x - x + C,
com C constante arbitrária.

Exercícios relacionados