Resolva pelo método matricial (dos autovalores e autovetores). Descreva o comportamento das soluções quando . Verifique se a solução é ponto de equilíbrio estável ou instável, verificando se é sela, nó, foco (espiral) ou centro. Faça um esboço da família das soluções:
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear homogêneo
e pede para aplicar o método matricial de autovalores e autovetores, obter a solução geral, descrever o comportamento quando , e classificar o ponto de equilíbrio como nó, sela, foco ou centro.
Passo 2
Escrevemos a matriz do sistema
e calculamos o polinômio característico
Logo, os autovalores são
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Passo 3
Para resolvemos
Escolhendo , obtém-se
Um autovetor associado a é
e para temos o conjugado .
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Passo 4
A solução geral complexa é
onde CinC. Separando em parte real e imaginária obtemos uma base real de soluções:
Re!l(e^itvr) = 2cos t - sin t [3pt]cos t, Im!l(e^itvr) = 2sin t + cos t [3pt]sin t
Portanto a forma real da solução geral é
vec x(t) = alpha 2cos t - sin t cos t + beta 2sin t + cos t sin t,
com alpha,betainR.
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Passo 5
Como os autovalores são puramente imaginários (pm i), cada componente oscila sem decair nem crescer: as trajetórias são periódicas e permanecem em torno da origem. Em particular, não há divergência nem decaimento, ou seja, não existe atração nem repulsão exponencial.
Passo 6
Trajetórias fechadas em torno da origem caracterizam um centro. Esse ponto de equilíbrio é estável no sentido de Lyapunov (soluções permanecem próximas se a condição inicial for próxima), mas não assintoticamente estável (não há convergência para a origem).
Esboço da família de soluções: concentricidade de órbitas fechadas (elipses) centradas em (0,0), percorridas no sentido anti-horário. Cada condição inicial define uma elipse distinta, e nenhuma trajetória cruza outra nem tende a infinito.
Resposta
A solução geral é
vec x(t) = alpha 2cos t - sin t [3pt]cos t + beta 2sin t + cos t [3pt]sin t,
as órbitas são periódicas (trajectórias fechadas), o ponto (0,0) é um centro estável (não assintoticamente), e o senso de rotação é anti-horário ao longo das elipses fechadas.
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