Resolva pelo método matricial (dos autovalores e autovetores). Descreva o comportamento das soluções quando t longrightarrow+infty. Verifique se a solução x(t)=(x1(t), x2(t))=(0,0) é ponto de equilíbrio estável ou instável, verificando se é sela, nó, foco (espiral) ou centro. Faça um esboço da família das soluções:
l x1^prime=2 x1-5 x2 x2^prime=x1-2 x2

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear homogêneo
x1' = 2x1 - 5x2, x2' = x1 - 2x2,
e pede para aplicar o método matricial de autovalores e autovetores, obter a solução geral, descrever o comportamento quando tto+infty, e classificar o ponto de equilíbrio vec x=(0,0) como nó, sela, foco ou centro.

Passo 2

Escrevemos a matriz do sistema
A = 2 & -5 [6pt] 1 & -2
e calculamos o polinômio característico
det(A - lambda I) = det!l(2-lambda & -5[2pt]1 & -2-lambdar) = (2-lambda)(-2-lambda) - (-5cdot1) = lambda^2 + 1
Logo, os autovalores são
lambda = pm i
]

Passo 3

Para resolvemos
Escolhendo , obtém-se
Um autovetor associado a é
e para temos o conjugado .
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Passo 4

A solução geral complexa é
vec x(t) = C,e^i t2 + i1 + C,e^i t,
onde CinC. Separando em parte real e imaginária obtemos uma base real de soluções:
Re!l(e^itvr) = 2cos t - sin t [3pt]cos t, Im!l(e^itvr) = 2sin t + cos t [3pt]sin t
Portanto a forma real da solução geral é
vec x(t) = alpha 2cos t - sin t cos t + beta 2sin t + cos t sin t,
com alpha,betainR.
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Passo 5

Como os autovalores são puramente imaginários ( pm i), cada componente oscila sem decair nem crescer: as trajetórias são periódicas e permanecem em torno da origem. Em particular, não há divergência nem decaimento, ou seja, não existe atração nem repulsão exponencial.

Passo 6

Trajetórias fechadas em torno da origem caracterizam um centro. Esse ponto de equilíbrio é estável no sentido de Lyapunov (soluções permanecem próximas se a condição inicial for próxima), mas não assintoticamente estável (não há convergência para a origem).
Esboço da família de soluções: concentricidade de órbitas fechadas (elipses) centradas em (0,0), percorridas no sentido anti-horário. Cada condição inicial define uma elipse distinta, e nenhuma trajetória cruza outra nem tende a infinito.

Resposta

A solução geral é
vec x(t) = alpha 2cos t - sin t [3pt]cos t + beta 2sin t + cos t [3pt]sin t,
as órbitas são periódicas (trajectórias fechadas), o ponto (0,0) é um centro estável (não assintoticamente), e o senso de rotação é anti-horário ao longo das elipses fechadas.
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