Calcule os limites, caso existam:
\lim _{x \rightarrow 3^{+}} \frac{\sqrt{2 x}-\sqrt{x^{2}-3}}{3-x}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite lateral
\lim_{x\to 3^{+}} \frac{\sqrt{2x}-\sqrt{x^{2}-3}}{3-x}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • É um limite quando x se aproxima de 3 pela direita (isto é, x>3 próximos de 3).
  • A expressão envolve duas raízes: \sqrt{2x} e \sqrt{x^{2}-3}. Ambas estão definidas para valores próximos de x=3 (verificação: 2x\ge0 para x\ge0 e x^{2}-3\ge0 para |x|\ge\sqrt{3}; no entorno de 3 tudo certo).
  • Avaliando a expressão em x=3 obtemos numerador \sqrt{6}-\sqrt{6}=0 e denominador 3-3=0. Logo a forma é 0/0, isto é, uma forma indeterminada que pede manipulação algébrica para ser resolvida.

Passo 2

Estratégia didática: quando aparece uma diferença de radicais que dá 0/0, um truque clássico e muito útil é multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do numerador (trocar o sinal entre as raízes), porque isso elimina as raízes no numerador através da identidade (a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}. Vou aplicar exatamente isso aqui, passo a passo, para transformar a indeterminação numa expressão que permita substituição direta.

Passo 3

Multiplicando numerador e denominador pelo conjugado \sqrt{2x}+\sqrt{x^{2}-3}:
\frac{\sqrt{2x}-\sqrt{x^{2}-3}}{3-x} = \frac{\big(\sqrt{2x}-\sqrt{x^{2}-3}\big)\big(\sqrt{2x}+\sqrt{x^{2}-3}\big)}{(3-x)\big(\sqrt{2x}+\sqrt{x^{2}-3}\big)}.
No numerador usamos (a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2} com a=\sqrt{2x} e b=\sqrt{x^{2}-3}. Assim o numerador vira
(\sqrt{2x})^{2}-(\sqrt{x^{2}-3})^{2}=2x-(x^{2}-3).
Portanto a expressão fica
\frac{2x-(x^{2}-3)}{(3-x)\big(\sqrt{2x}+\sqrt{x^{2}-3}\big)}.

Passo 4

Simplifico o numerador algébricamente:
2x-(x^{2}-3) = -x^{2}+2x+3 = -(x^{2}-2x-3).
Fatorando x^{2}-2x-3:
x^{2}-2x-3=(x-3)(x+1).
Logo
2x-(x^{2}-3)=-(x-3)(x+1).
Substituindo no quociente:
\frac{2x-(x^{2}-3)}{(3-x)\big(\sqrt{2x}+\sqrt{x^{2}-3}\big)} = \frac{-(x-3)(x+1)}{(3-x)\big(\sqrt{2x}+\sqrt{x^{2}-3}\big)}.
Agora observe que (3-x)=-(x-3). Assim, para x\neq3 (caso do limite) os fatores -(x-3) no numerador e (3-x) no denominador cancelam, deixando
\frac{x+1}{\sqrt{2x}+\sqrt{x^{2}-3}}.
Essa é uma expressão bem comportada (não mais 0/0) para x próximo de 3.

Passo 5

Agora que simplificamos, podemos avaliar o limite por substituição direta, pois as funções envolvidas são contínuas no ponto x=3. Substituindo x=3 em
\frac{x+1}{\sqrt{2x}+\sqrt{x^{2}-3}}
temos numerador 3+1=4 e denominador \sqrt{6}+\sqrt{6}=2\sqrt{6}. Portanto o valor é
\frac{4}{2\sqrt{6}}=\frac{2}{\sqrt{6}}.
Opcionalmente racionalizando o denominador:
\frac{2}{\sqrt{6}}=\frac{2\sqrt{6}}{6}=\frac{\sqrt{6}}{3}.

Resposta

\dfrac{\sqrt{6}}{3}

Exercícios relacionados