Calcule os limites, caso existam:
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite lateral
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- É um limite quando
se aproxima de pela direita (isto é, próximos de ). - A expressão envolve duas raízes:
e . Ambas estão definidas para valores próximos de (verificação: para e para ; no entorno de tudo certo). - Avaliando a expressão em
obtemos numerador e denominador . Logo a forma é , isto é, uma forma indeterminada que pede manipulação algébrica para ser resolvida.
Passo 2
Estratégia didática: quando aparece uma diferença de radicais que dá
, um truque clássico e muito útil é multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do numerador (trocar o sinal entre as raízes), porque isso elimina as raízes no numerador através da identidade
. Vou aplicar exatamente isso aqui, passo a passo, para transformar a indeterminação numa expressão que permita substituição direta.
Passo 3
Multiplicando numerador e denominador pelo conjugado
:
No numerador usamos
com
e
. Assim o numerador vira
Portanto a expressão fica
Passo 4
Simplifico o numerador algébricamente:
Fatorando
:
Logo
Substituindo no quociente:
Agora observe que
. Assim, para
(caso do limite) os fatores
no numerador e
no denominador cancelam, deixando
Essa é uma expressão bem comportada (não mais
) para
próximo de
.
Passo 5
Agora que simplificamos, podemos avaliar o limite por substituição direta, pois as funções envolvidas são contínuas no ponto
. Substituindo
em
temos numerador
e denominador
. Portanto o valor é
Opcionalmente racionalizando o denominador: