Calcule os limites, caso existam: \lim _{x \rightarrow 1^{+}} \frac{x^{4}+x-2}{x^{2}-1}
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite unilateral
\lim_{x\to 1^{+}} \frac{x^{4}+x-2}{x^{2}-1}.
Informações dadas:
O numerador é o polinômio x^{4}+x-2.
O denominador é o polinômio x^{2}-1.
A tarefa é determinar se o limite existe quando x se aproxima de 1 pela direita e, se existir, encontrar o seu valor.
Passo 2
Teste de substituição direta: tente substituir x=1 na expressão para ver se o limite pode ser obtido por substituição.
\text{Numerador em }x=1:\quad 1^{4}+1-2 = 1+1-2 = 0.
\text{Denominador em }x=1:\quad 1^{2}-1 = 1-1 = 0.
Como obtemos a forma indeterminada \frac{0}{0}, a substituição direta não dá o limite. Isso indica que provavelmente há um fator comum (x-1) que pode ser cancelado; vamos explorar isso.
Passo 3
Fato importante (teoria curta e prática): se um polinômio p(x) satisfaz p(1)=0, então (x-1) é um fator de p(x) (Teorema do Resto / Teorema do Fator). Já vimos que x^{4}+x-2 vale zero em x=1, logo (x-1) divide o numerador. Vamos dividir o polinómio para encontrar o quociente.
Aplico a divisão de x^{4}+0x^{3}+0x^{2}+1x-2 por x-1. A divisão (síntese rápida) dá o quociente x^{3}+x^{2}+x+2 e resto 0. Portanto:
x^{4}+x-2 = (x-1)\bigl(x^{3}+x^{2}+x+2\bigr).
Passo 4
Fatore também o denominador, que é uma diferença de quadrados:
x^{2}-1 = (x-1)(x+1).
Passo 5
Substituindo as fatorações na expressão original e simplificando (válido para x\neq 1):
Interpretação final e observação encorajadora: o limite unilateral da direita existe e vale \tfrac{5}{2}. Note que, após cancelar o fator (x-1), a mesma avaliação pelo lado esquerdo também daria \tfrac{5}{2}; portanto o limite bilateral em 1 também existe e é \tfrac{5}{2}. Boa! Você já desarmou a indeterminação com fatoração — técnica muito útil em provas.