Calcule os limites, caso existam:
\lim _{x \rightarrow 1^{+}} \frac{x^{4}+x-2}{x^{2}-1}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite unilateral
\lim_{x\to 1^{+}} \frac{x^{4}+x-2}{x^{2}-1}.
Informações dadas:
  • O numerador é o polinômio x^{4}+x-2.
  • O denominador é o polinômio x^{2}-1.
    A tarefa é determinar se o limite existe quando x se aproxima de 1 pela direita e, se existir, encontrar o seu valor.

Passo 2

Teste de substituição direta: tente substituir x=1 na expressão para ver se o limite pode ser obtido por substituição.
\text{Numerador em }x=1:\quad 1^{4}+1-2 = 1+1-2 = 0.
\text{Denominador em }x=1:\quad 1^{2}-1 = 1-1 = 0.
Como obtemos a forma indeterminada \frac{0}{0}, a substituição direta não dá o limite. Isso indica que provavelmente há um fator comum (x-1) que pode ser cancelado; vamos explorar isso.

Passo 3

Fato importante (teoria curta e prática): se um polinômio p(x) satisfaz p(1)=0, então (x-1) é um fator de p(x) (Teorema do Resto / Teorema do Fator). Já vimos que x^{4}+x-2 vale zero em x=1, logo (x-1) divide o numerador. Vamos dividir o polinómio para encontrar o quociente.
Aplico a divisão de x^{4}+0x^{3}+0x^{2}+1x-2 por x-1. A divisão (síntese rápida) dá o quociente x^{3}+x^{2}+x+2 e resto 0. Portanto:
x^{4}+x-2 = (x-1)\bigl(x^{3}+x^{2}+x+2\bigr).

Passo 4

Fatore também o denominador, que é uma diferença de quadrados:
x^{2}-1 = (x-1)(x+1).

Passo 5

Substituindo as fatorações na expressão original e simplificando (válido para x\neq 1):
\frac{x^{4}+x-2}{x^{2}-1} = \frac{(x-1)\bigl(x^{3}+x^{2}+x+2\bigr)}{(x-1)(x+1)} = \frac{x^{3}+x^{2}+x+2}{x+1},\qquad x\neq 1.
A simplificação remove a indeterminação; agora temos uma função racional que é contínua em x=1 (exceto no ponto removível x=1, mas o limite existe).

Passo 6

Como a expressão simplificada é contínua em x=1, o limite quando x\to 1^{+} é igual ao valor da expressão simplificada em x=1. Substituindo x=1:
\frac{x^{3}+x^{2}+x+2}{x+1}\Bigg|_{x=1} = \frac{1^{3}+1^{2}+1+2}{1+1} = \frac{1+1+1+2}{2} = \frac{5}{2}.

Passo 7

Interpretação final e observação encorajadora: o limite unilateral da direita existe e vale \tfrac{5}{2}. Note que, após cancelar o fator (x-1), a mesma avaliação pelo lado esquerdo também daria \tfrac{5}{2}; portanto o limite bilateral em 1 também existe e é \tfrac{5}{2}. Boa! Você já desarmou a indeterminação com fatoração — técnica muito útil em provas.

Resposta

\dfrac{5}{2}

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