Calcule os limites, caso existam:
Passo 1
O que o problema pede e o que nos dá.
- Pede calcular
. - A variável
tende a pela direita (ou seja e ). - Observação imediata: quando
temos e . Portanto o numerador e o denominador . Logo a expressão é da forma indeterminada . - Como é indeterminação, precisamos manipular algebricamente (ou usar uma substituição) para descobrir o limite.
Passo 2
Ideia didática para resolver: escolha de substituição.
- Para simplificar raízes com expoentes
e é útil fazer uma substituição que transforme essas potências em inteiras. O mínimo múltiplo dos denominadores e é . Então usamos a substituição
com
e
quando
.
- Essa substituição é perfeitamente válida porque a função
é contínua e estritamente crescente em , então limites por correspondem a limites por .
Passo 3
Fazer a substituição e simplificar.
- Calculando as raízes em função de
:
- Substituindo na expressão:
- Fatorando
no denominador para simplificar:
Passo 4
Calcular o limite na variável
.
- Agora consideramos
. - Quando
o numerador e o denominador (que é um número não nulo). - Teorema das operações com limites: se o numerador tende a
e o denominador tende a um número finito não nulo, então o quociente tende a . - Portanto
- Como a substituição é equivalente ao limite original, concluímos que o limite pedido é
.
Passo 5
Uma alternativa rápida (mesma ideia, sem mudar de variável).
- Escrever em potências:
- Fatora-se
do denominador porque :
- Ao fazer
temos e , logo a fração tende a .