Calcule os limites, caso existam:
\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x}{\sqrt{x}-\sqrt[3]{x}}

Passo 1

O que o problema pede e o que nos dá.
  • Pede calcular \displaystyle \lim_{x\to 0^{+}} \frac{x}{\sqrt{x}-\sqrt[3]{x}}.
  • A variável x tende a 0 pela direita (ou seja x>0 e x\to0).
  • Observação imediata: quando x\to0^{+} temos \sqrt{x}\to0 e \sqrt[3]{x}\to0. Portanto o numerador \,x\to0 e o denominador \sqrt{x}-\sqrt[3]{x}\to0-0=0. Logo a expressão é da forma indeterminada 0/0.
  • Como é indeterminação, precisamos manipular algebricamente (ou usar uma substituição) para descobrir o limite.

Passo 2

Ideia didática para resolver: escolha de substituição.
  • Para simplificar raízes com expoentes \tfrac12 e \tfrac13 é útil fazer uma substituição que transforme essas potências em inteiras. O mínimo múltiplo dos denominadores 2 e 3 é 6. Então usamos a substituição
x = t^{6},
com t>0 e t\to0^{+} quando x\to0^{+}.
  • Essa substituição é perfeitamente válida porque a função t\mapsto t^{6} é contínua e estritamente crescente em t>0, então limites por x\to0^{+} correspondem a limites por t\to0^{+}.

Passo 3

Fazer a substituição e simplificar.
  • Calculando as raízes em função de t:
\sqrt{x} = x^{1/2} = (t^{6})^{1/2} = t^{3}, \qquad \sqrt[3]{x} = x^{1/3} = (t^{6})^{1/3} = t^{2}.
  • Substituindo na expressão:
\frac{x}{\sqrt{x}-\sqrt[3]{x}} = \frac{t^{6}}{t^{3}-t^{2}}.
  • Fatorando t^{2} no denominador para simplificar:
\frac{t^{6}}{t^{3}-t^{2}} = \frac{t^{6}}{t^{2}(t-1)} = \frac{t^{4}}{t-1}.

Passo 4

Calcular o limite na variável t.
  • Agora consideramos \displaystyle \lim_{t\to0^{+}} \frac{t^{4}}{t-1}.
  • Quando t\to0^{+} o numerador t^{4}\to0 e o denominador t-1\to -1 (que é um número não nulo).
  • Teorema das operações com limites: se o numerador tende a 0 e o denominador tende a um número finito não nulo, então o quociente tende a 0.
  • Portanto
\lim_{t\to0^{+}} \frac{t^{4}}{t-1} = 0.
  • Como a substituição é equivalente ao limite original, concluímos que o limite pedido é 0.

Passo 5

Uma alternativa rápida (mesma ideia, sem mudar de variável).
  • Escrever em potências:
\frac{x}{\sqrt{x}-\sqrt[3]{x}}=\frac{x}{x^{1/2}-x^{1/3}}.
  • Fatora-se x^{1/3} do denominador porque x^{1/2}=x^{1/3}\cdot x^{1/6}:
\frac{x}{x^{1/2}-x^{1/3}}=\frac{x}{x^{1/3}\bigl(x^{1/6}-1\bigr)} =\frac{x^{1-1/3}}{x^{1/6}-1}=\frac{x^{2/3}}{x^{1/6}-1}.
  • Ao fazer x\to0^{+} temos x^{2/3}\to0 e x^{1/6}-1\to-1, logo a fração tende a 0.

Resposta

0

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