Calcule os limites, caso existam:
Passo 1
O enunciado pede o limite lateral direito
Informações dadas e observações iniciais:
- A variável
aproxima-se de pela direita, portanto temos nas proximidades de . - A expressão é definida para
(porque aparece e divisão por ). - A tarefa é determinar para qual valor finito a expressão converge quando
, ou se ela diverge (vai para ou ).
Passo 2
Vamos simplificar a expressão algébrica antes de tirar o limite. Começo separando a fração:
Agora simplifico cada termo. Para o segundo termo
. Para o primeiro termo uso regras de potências:
, logo
Portanto a expressão fica
Passo 3
Interpretação intuitiva do comportamento de
quando
:
- Para
pequeno, é um número pequeno positivo. - O recíproco
então é um número muito grande positivo. - Subtraindo
não muda a natureza: fica muito grande e positivo quando fica próximo de pela direita.
Exemplo numérico rápido (pra sentir): se
então
e
. Se
então
e
. Vê que cresce sem limite.
Passo 4
Agora dou uma argumentação formal do tipo "para todo
existe
tal que, se
, então
". Isso prova que o limite é
.
Começo com a desigualdade desejada:
se e somente se
o que é equivalente a
e isso equivale a
Portanto, basta tomar
Então, para todo
, se
teremos
. Isso é exatamente a definição de divergência para
.
Passo 5
Conclusão e interpretação final: a expressão
cresce sem limite positivo quando
tende a
pela direita. Em linguagem de limites,
Isto significa que não existe limite finito; a função diverge para
.