Calcule os limites, caso existam:
\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\sqrt{x}-x}{x}

Passo 1

O enunciado pede o limite lateral direito
\lim_{x\to 0^{+}} \frac{\sqrt{x}-x}{x}.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A variável x aproxima-se de 0 pela direita, portanto temos x>0 nas proximidades de 0.
  • A expressão é definida para x>0 (porque aparece \sqrt{x} e divisão por x).
  • A tarefa é determinar para qual valor finito a expressão converge quando x\to0^{+}, ou se ela diverge (vai para +\infty ou -\infty).

Passo 2

Vamos simplificar a expressão algébrica antes de tirar o limite. Começo separando a fração:
\frac{\sqrt{x}-x}{x}=\frac{\sqrt{x}}{x}-\frac{x}{x}.
Agora simplifico cada termo. Para o segundo termo \dfrac{x}{x}=1. Para o primeiro termo uso regras de potências: \sqrt{x}=x^{1/2}, logo
\frac{\sqrt{x}}{x}=\frac{x^{1/2}}{x^{1}}=x^{1/2-1}=x^{-1/2}=\frac{1}{\sqrt{x}}.
Portanto a expressão fica
\frac{\sqrt{x}-x}{x}=\frac{1}{\sqrt{x}}-1.

Passo 3

Interpretação intuitiva do comportamento de \dfrac{1}{\sqrt{x}}-1 quando x\to0^{+}:
  • Para x>0 pequeno, \sqrt{x} é um número pequeno positivo.
  • O recíproco \dfrac{1}{\sqrt{x}} então é um número muito grande positivo.
  • Subtraindo 1 não muda a natureza: \dfrac{1}{\sqrt{x}}-1 fica muito grande e positivo quando x fica próximo de 0 pela direita.
Exemplo numérico rápido (pra sentir): se x=0,01 então \sqrt{x}=0,1 e \dfrac{1}{\sqrt{x}}-1=10-1=9. Se x=10^{-6} então \sqrt{x}=10^{-3} e \dfrac{1}{\sqrt{x}}-1=1000-1=999. Vê que cresce sem limite.

Passo 4

Agora dou uma argumentação formal do tipo "para todo M>0 existe \delta>0 tal que, se 0<x<\delta, então \dfrac{1}{\sqrt{x}}-1>M". Isso prova que o limite é +\infty.
Começo com a desigualdade desejada:
\frac{1}{\sqrt{x}}-1>M
se e somente se
\frac{1}{\sqrt{x}}>M+1,
o que é equivalente a
\sqrt{x}<\frac{1}{M+1},
e isso equivale a
x<\frac{1}{(M+1)^{2}}.
Portanto, basta tomar
\delta=\frac{1}{(M+1)^{2}}.
Então, para todo M>0, se 0<x<\delta teremos \dfrac{1}{\sqrt{x}}-1>M. Isso é exatamente a definição de divergência para +\infty.

Passo 5

Conclusão e interpretação final: a expressão \dfrac{\sqrt{x}-x}{x} cresce sem limite positivo quando x tende a 0 pela direita. Em linguagem de limites,
\lim_{x\to 0^{+}} \frac{\sqrt{x}-x}{x}=+\infty.
Isto significa que não existe limite finito; a função diverge para +\infty.

Resposta

+\infty

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