Determinar:
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x-1}{x+3}\right)^{x+2}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o limite
\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x-1}{x+3}\right)^{x+2}.
Informações dadas:
  • A expressão é uma potência cujo expoente depende de x.
  • A variável tende a infinito: x\to\infty.
  • Não há outras condições; supõe-se x real e grande (para x>1 a base é positiva).

Passo 2

Identificar a forma da indeterminação: vamos observar o comportamento da base e do expoente separadamente quando x\to\infty.
  • A base: \dfrac{x-1}{x+3}. Para x\to\infty temos \dfrac{x-1}{x+3}\to 1.
  • O expoente: x+2\to\infty.
Portanto a expressão tem a forma indeterminada 1^\infty. Isso significa que não podemos simplesmente substituir os limites; precisamos de um método apropriado. Um procedimento padrão é tomar o logaritmo natural para transformar a potência em produto e estudar o limite do logaritmo.

Passo 3

Definimos
y(x)=\left(\frac{x-1}{x+3}\right)^{x+2}.
Se existir L=\lim_{x\to\infty}y(x) e y(x)>0 para x grande (o que ocorre, pois \dfrac{x-1}{x+3}>0 para x>1), então
\ln y(x)=(x+2)\ln\!\left(\frac{x-1}{x+3}\right).
Vamos calcular \lim_{x\to\infty}\ln y(x); então L=\exp\!\big(\lim_{x\to\infty}\ln y(x)\big).

Passo 4

Simplificar a expressão dentro do logaritmo:
\frac{x-1}{x+3}=\frac{x+3-4}{x+3}=1-\frac{4}{x+3}.
Logo
\ln y(x)=(x+2)\ln\!\left(1-\frac{4}{x+3}\right).
Para facilitar, faça a mudança t=x+3. Quando x\to\infty também t\to\infty, e
\ln y = (t-1)\ln\!\left(1-\frac{4}{t}\right)=t\ln\!\left(1-\frac{4}{t}\right)-\ln\!\left(1-\frac{4}{t}\right).
A segunda parcela \ln\!\left(1-\dfrac{4}{t}\right)\to 0 quando t\to\infty. Portanto o limite de \ln y é o mesmo que o limite de
t\ln\!\left(1-\frac{4}{t}\right)
quando t\to\infty.

Passo 5

Calcular \displaystyle\lim_{t\to\infty} t\ln\!\left(1-\frac{4}{t}\right).
Usamos a propriedade limite clássica
\lim_{u\to 0}\frac{\ln(1+u)}{u}=1.
Isso pode ser visto pelo desenvolvimento em série \ln(1+u)=u+o(u) ou por l’Hôpital. Agora faça u=-\dfrac{4}{t}. Então u\to 0 quando t\to\infty e
t\ln\!\left(1-\frac{4}{t}\right)=t\ln(1+u).
Reescrevendo:
t\ln(1+u)=t\cdot u\cdot\frac{\ln(1+u)}{u}.
Mas t\cdot u = t\cdot\left(-\frac{4}{t}\right)=-4. Como \dfrac{\ln(1+u)}{u}\to 1 quando u\to 0, concluímos
\lim_{t\to\infty} t\ln\!\left(1-\frac{4}{t}\right) = -4\cdot 1 = -4.

Passo 6

Voltando para \ln y: obtivemos
\lim_{x\to\infty}\ln y(x) = -4.
Como a função exponencial é contínua, o limite buscado é
\lim_{x\to\infty} y(x)=\exp\!\big(\lim_{x\to\infty}\ln y(x)\big)=\exp(-4)=e^{-4}.

Resposta

e^{-4}

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