Determinar:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular o limite
Informações dadas:
- A expressão é uma potência cujo expoente depende de
. - A variável tende a infinito:
. - Não há outras condições; supõe-se
real e grande (para a base é positiva).
Passo 2
Identificar a forma da indeterminação: vamos observar o comportamento da base e do expoente separadamente quando
.
- A base:
. Para temos . - O expoente:
.
Portanto a expressão tem a forma indeterminada
. Isso significa que não podemos simplesmente substituir os limites; precisamos de um método apropriado. Um procedimento padrão é tomar o logaritmo natural para transformar a potência em produto e estudar o limite do logaritmo.
Passo 3
Definimos
Se existir
e
para
grande (o que ocorre, pois
para
), então
Vamos calcular
; então
.
Passo 4
Simplificar a expressão dentro do logaritmo:
Logo
Para facilitar, faça a mudança
. Quando
também
, e
A segunda parcela
quando
. Portanto o limite de
é o mesmo que o limite de
quando
.
Passo 5
Calcular
.
Usamos a propriedade limite clássica
Isso pode ser visto pelo desenvolvimento em série
ou por l’Hôpital. Agora faça
. Então
quando
e
Reescrevendo:
Mas
. Como
quando
, concluímos
Passo 6
Voltando para
: obtivemos
Como a função exponencial é contínua, o limite buscado é