Calcule os limites, caso existam:
\lim _{x \rightarrow 1} f(x), f(x)=\left\{\begin{array}{clc}x^{2}+2 x, & \text { se } & x \leq 1 \\\\ -x^{3}+2, & \text { se } & x>1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to 1} f(x),
onde a função f\) é dada por \[f(x)=\begin{cases} x^{2}+2x, & \text{se } x\le 1,\\[4pt] -x^{3}+2, & \text{se } x>1. \end{cases}
Informações importantes dadas:
  • Há duas expressões diferentes para f(x)\], uma válida para \(x\le 1 e outra para x>1.
  • O ponto onde o limite é pedido é exatamente o ponto de troca de fórmula, x=1.
    O que o limite \lim_{x\to1} f(x) exige: que os limites laterais pela esquerda e pela direita sejam iguais. Portanto precisamos calcular
\lim_{x\to1^-} f(x)\quad\text{e}\quad\lim_{x\to1^+} f(x),
e só então comparar os resultados.]

Passo 2

Conceito rápido e prático (sem formalismo pesado): o limite de f(x) quando x se aproxima de 1 existe se e só se o valor que f(x) tende vindo por valores menores do que 1 (lado esquerdo) for igual ao valor que f(x) tende vindo por valores maiores do que 1 (lado direito). Chamamos esses de limite lateral esquerdo \lim_{x\to1^-} f(x) e limite lateral direito \lim_{x\to1^+} f(x). Se eles coincidirem, esse é o valor do limite; se não, o limite não existe.

Passo 3

Cálculo do limite lateral pela esquerda. Para x que se aproxima de 1 pelo lado esquerdo usamos a expressão válida para x\le1, ou seja f(x)=x^{2}+2x. Polinômios são funções contínuas, o que significa que o limite ao se aproximar de um ponto é simplesmente o valor da expressão avaliada naquele ponto. Então:
\lim_{x\to1^-} f(x) = \lim_{x\to1^-} \left(x^{2}+2x\right) = 1^{2}+2\cdot 1 = 1+2 = 3.
Explicando de forma concreta: basta substituir x=1 na expressão x^{2}+2x.

Passo 4

Cálculo do limite lateral pela direita. Para x que se aproxima de 1 pelo lado direito usamos a expressão válida para x>1, ou seja f(x)=-x^{3}+2. Novamente, como é um polinômio (ou soma de potências), é contínuo, então o limite é o valor obtido substituindo x=1:
\lim_{x\to1^+} f(x) = \lim_{x\to1^+} \left(-x^{3}+2\right) = -1^{3}+2 = -1+2 = 1.

Passo 5

Comparação dos limites laterais e conclusão. Encontramos
\lim_{x\to1^-} f(x)=3\quad\text{e}\quad\lim_{x\to1^+} f(x)=1.
Como os dois lados são diferentes ( 3\neq 1), o limite bidirecional \lim_{x\to1} f(x) não existe. Observação adicional útil para prova: o valor da função no ponto é f(1)=1^{2}+2\cdot1=3 (porque vale a primeira expressão para x\le1), então há uma descontinuidade do tipo salto em x=1.

Resposta

\lim_{x\to1^-} f(x)=3
\lim_{x\to1^+} f(x)=1
\lim_{x\to1} f(x) não existe.

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