Calcule os limites, caso existam:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Informações dadas e observações iniciais:
- A função que aparece é
. - Se eu simplesmente substituir
obtenho no numerador e no denominador . - Portanto a forma é do tipo “número diferente de zero dividido por zero”, ou seja, pode haver divergência para infinito (positiva ou negativa) em vez de um limite finito. A resolução completa virá nos próximos passos.
Passo 2
Reescrever a função de modo que fique claro o que ocorre quando
. Uma técnica simples é dividir o polinômio do numerador pelo binômio
(divisão de polinômios). Vou fazer a divisão de
por
.
Fazendo a divisão (ou usando divisão sintética com a raiz
) obtemos o quociente
e o resto
. Formalmente:
Explicando a ideia da divisão sintética (passo a passo rápido):
- Coeficientes do numerador:
(de ), (de ), (termo constante). - Usando
como “divisor” sintético: - Baixa o
. - Multiplica
por e somo ao próximo coeficiente: . - Multiplica
por e somo ao próximo coeficiente: .
- Baixa o
- Os números obtidos
correspondem aos coeficientes do quociente e ao resto .
Passo 3
Agora que a expressão está escrita como
posso analisar o limite somando limites parciais (quando existirem).
Primeiro, o termo
é contínuo em
, então
O comportamento do todo é então determinado pelo termo
, que tende a infinito (com sinal dependendo do lado pelo qual
se aproxima de
).
Passo 4
Analisar as duas semicontinuações (limites laterais) do termo
:
-
Ao aproximar
de pela direita ( ), temos muito pequeno, então Assim -
Ao aproximar
de pela esquerda ( ), temos muito pequeno (magnitude pequena, sinal negativo), então Assim
Passo 5
Conclusão sobre o limite bilateral (do enunciado). Como os limites laterais não coincidem — um é
e o outro é
— o limite bilateral não existe (não converge para um número finito nem para um único sinal de infinito).
Resposta
O limite não existe.