Calcule os limites, caso existam:
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{2}+x+1}{x-1}=

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x \rightarrow 1} \frac{x^{2}+x+1}{x-1}.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A função que aparece é \dfrac{x^{2}+x+1}{x-1}.
  • Se eu simplesmente substituir x=1 obtenho no numerador 1^{2}+1+1=3 e no denominador 1-1=0.
  • Portanto a forma é do tipo “número diferente de zero dividido por zero”, ou seja, pode haver divergência para infinito (positiva ou negativa) em vez de um limite finito. A resolução completa virá nos próximos passos.

Passo 2

Reescrever a função de modo que fique claro o que ocorre quando x\to1. Uma técnica simples é dividir o polinômio do numerador pelo binômio x-1 (divisão de polinômios). Vou fazer a divisão de x^{2}+x+1 por x-1.
Fazendo a divisão (ou usando divisão sintética com a raiz 1) obtemos o quociente x+2 e o resto 3. Formalmente:
\frac{x^{2}+x+1}{x-1}=x+2+\frac{3}{x-1}.
Explicando a ideia da divisão sintética (passo a passo rápido):
  • Coeficientes do numerador: 1 (de x^2), 1 (de x), 1 (termo constante).
  • Usando 1 como “divisor” sintético:
    • Baixa o 1.
    • Multiplica 1 por 1 e somo ao próximo coeficiente: 1+1=2.
    • Multiplica 1 por 2 e somo ao próximo coeficiente: 1+2=3.
  • Os números obtidos 1,2,3 correspondem aos coeficientes do quociente x+2 e ao resto 3.

Passo 3

Agora que a expressão está escrita como
\frac{x^{2}+x+1}{x-1}=x+2+\frac{3}{x-1},
posso analisar o limite somando limites parciais (quando existirem).
Primeiro, o termo x+2 é contínuo em x=1, então
\lim_{x\to1}(x+2)=1+2=3.
O comportamento do todo é então determinado pelo termo \dfrac{3}{x-1}, que tende a infinito (com sinal dependendo do lado pelo qual x se aproxima de 1).

Passo 4

Analisar as duas semicontinuações (limites laterais) do termo \dfrac{3}{x-1}:
  • Ao aproximar x de 1 pela direita ( x\to1^{+}), temos x-1>0 muito pequeno, então
    \frac{3}{x-1}\to +\infty.
    Assim
    \lim_{x\to1^{+}}\left(x+2+\frac{3}{x-1}\right)=3+(+\infty)=+\infty.
  • Ao aproximar x de 1 pela esquerda ( x\to1^{-}), temos x-1<0 muito pequeno (magnitude pequena, sinal negativo), então
    \frac{3}{x-1}\to -\infty.
    Assim
    \lim_{x\to1^{-}}\left(x+2+\frac{3}{x-1}\right)=3+(-\infty)=-\infty.

Passo 5

Conclusão sobre o limite bilateral (do enunciado). Como os limites laterais não coincidem — um é +\infty e o outro é -\infty — o limite bilateral não existe (não converge para um número finito nem para um único sinal de infinito).

Resposta

O limite não existe.
\lim_{x\to1^{+}}\frac{x^{2}+x+1}{x-1}=+\infty
\lim_{x\to1^{-}}\frac{x^{2}+x+1}{x-1}=-\infty

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