Calcule os limites dados, usando as propriedades:
\lim _{(x, y, z) \rightarrow(-1 / 4, \pi / 2,2)} \operatorname{arctg}(x y z)

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule o limite
\lim_{(x,y,z)\rightarrow(-1/4,\;\pi/2,\;2)} \operatorname{arctg}(x y z).
Informações relevantes fornecidas:
  • A função a avaliar é \operatorname{arctg}(x y z).
  • O ponto para o qual (x,y,z) tende é \bigl(-\tfrac{1}{4},\;\tfrac{\pi}{2},\;2\bigr).
  • Não há outra restrição ou ambiguidade no enunciado.

Passo 2

Primeiro vamos estudar o comportamento do produto x y z quando (x,y,z) se aproxima do ponto dado. Uso a propriedade básica de limites em várias variáveis: se as projeções são convergentes e as operações algébricas (como multiplicação) são contínuas, então o limite do produto é o produto dos limites. Mais precisamente:
  • As projeções (x,y,z)\mapsto x, (x,y,z)\mapsto y e (x,y,z)\mapsto z são contínuas, então
\lim_{(x,y,z)\to(-1/4,\;\pi/2,\;2)} x = -\tfrac{1}{4},\qquad \lim_{(x,y,z)\to(-1/4,\;\pi/2,\;2)} y = \tfrac{\pi}{2},\qquad \lim_{(x,y,z)\to(-1/4,\;\pi/2,\;2)} z = 2.
  • A multiplicação em \mathbb{R} é uma operação contínua, portanto
\lim_{(x,y,z)\to(-1/4,\;\pi/2,\;2)} x y z = \left(\lim_{(x,y,z)\to(-1/4,\;\pi/2,\;2)} x\right) \left(\lim_{(x,y,z)\to(-1/4,\;\pi/2,\;2)} y\right) \left(\lim_{(x,y,z)\to(-1/4,\;\pi/2,\;2)} z\right).

Passo 3

Agora calculo explicitamente o produto dos limites que apareceu no passo anterior:
\left(-\tfrac{1}{4}\right)\cdot\left(\tfrac{\pi}{2}\right)\cdot 2.
Faço as contas passo a passo:
\left(\tfrac{\pi}{2}\right)\cdot 2 = \pi,
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\left(-\tfrac{1}{4}\right)\cdot \pi = -\tfrac{\pi}{4}.
Portanto
\lim_{(x,y,z)\to(-1/4,\;\pi/2,\;2)} x y z = -\tfrac{\pi}{4}.

Passo 4

Agora volto à função composta \operatorname{arctg}(x y z). Vou usar a propriedade de continuidade: a função \operatorname{arctg}:\mathbb{R}\to\mathbb{R} é contínua em todo \mathbb{R} (na verdade é diferenciável com derivada \dfrac{1}{1+u^{2}}, o que implica continuidade). Resultado útil e frequentemente usado em provas: se g é contínua em L e \lim f = L, então \lim g\circ f = g(L).

Passo 5

Aplicando essa propriedade à nossa situação, com f(x,y,z)=x y z e g(u)=\operatorname{arctg}(u), e usando o resultado do Passo 3, temos
\lim_{(x,y,z)\to(-1/4,\;\pi/2,\;2)} \operatorname{arctg}(x y z) = \operatorname{arctg}\!\left(\lim_{(x,y,z)\to(-1/4,\;\pi/2,\;2)} x y z\right) = \operatorname{arctg}\!\left(-\tfrac{\pi}{4}\right).

Resposta

\operatorname{arctg}\!\left(-\tfrac{\pi}{4}\right)

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