Calcule os limites dados, usando as propriedades:
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule o limite
Informações relevantes fornecidas:
- A função a avaliar é
. - O ponto para o qual
tende é . - Não há outra restrição ou ambiguidade no enunciado.
Passo 2
Primeiro vamos estudar o comportamento do produto
quando
se aproxima do ponto dado. Uso a propriedade básica de limites em várias variáveis: se as projeções são convergentes e as operações algébricas (como multiplicação) são contínuas, então o limite do produto é o produto dos limites. Mais precisamente:
- As projeções
, e são contínuas, então
- A multiplicação em
é uma operação contínua, portanto
Passo 3
Agora calculo explicitamente o produto dos limites que apareceu no passo anterior:
Faço as contas passo a passo:
logo
Portanto
Passo 4
Agora volto à função composta
. Vou usar a propriedade de continuidade: a função
é contínua em todo
(na verdade é diferenciável com derivada
, o que implica continuidade). Resultado útil e frequentemente usado em provas: se
é contínua em
e
, então
.
Passo 5
Aplicando essa propriedade à nossa situação, com
e
, e usando o resultado do Passo 3, temos