EXEMPLO 5. Seja x=t^{2} sen t. Calcule.
a) \frac{d x}{d t}.
b) \left.\frac{d x}{d t}\right|_{t=\pi \text {. }}
Passo 1
O enunciado dá a relação entre x e t:
x = t^{2}\sin t.
Ele pede duas coisas:
a) Calcular \dfrac{dx}{dt} (a derivada de x em relação a t).
b) Calcular o valor de \left.\dfrac{dx}{dt}\right|_{t=\pi} (a derivada avaliada em t=\pi).
As informações relevantes são exatamente a expressão x=t^{2}\sin t e o ponto t=\pi.
Passo 2
O que é derivar, de um jeitinho simples e direto: a derivada \dfrac{dx}{dt} mede como x varia quando t varia pouco. Para funções construídas por operações conhecidas (produto, soma, funções básicas) usamos regras prontas em vez da definição por limite toda hora. Vou te ensinar as regras que vamos usar aqui, devagar e com jeitinho.
Passo 3
Regra do produto (essencial aqui): se temos duas funções u(t) e v(t) e x(t)=u(t)\,v(t), então
Interpretação rápida: a variação do produto vem da variação de cada fator, uma de cada vez, mantendo o outro. É uma regra padrão — você pode pensar como “derivar um fator e multiplicar pelo outro, somar o caso oposto”.
Passo 4
Identificamos na expressão x=t^{2}\sin t os fatores para aplicar a regra do produto:
u(t)=t^{2},\qquad v(t)=\sin t.
Agora precisamos das derivadas de cada um (essas são regras básicas que você deve decorar e entender):
Regra do poder (power rule): para u(t)=t^{n} com n constante, \dfrac{du}{dt}=n t^{n-1}. Aplicando com n=2,
u'(t)=\dfrac{d}{dt}\big(t^{2}\big)=2t.
Derivada do seno: \dfrac{d}{dt}\big(\sin t\big)=\cos t. Então
v'(t)=\cos t.
Passo 5
Agora aplicamos a regra do produto:
\dfrac{dx}{dt}=u'(t)\,v(t)+u(t)\,v'(t).
Substituindo u,u',v,v':
\dfrac{dx}{dt}= (2t)\,\sin t + (t^{2})\,\cos t.
Podemos deixar organizado como
\dfrac{dx}{dt}=2t\sin t + t^{2}\cos t.
Essa é a expressão geral da derivada — na prova, quando virem produto de potência por função trigonométrica, a ideia é sempre essa: identificar os fatores, derivar cada um e aplicar a regra do produto.
Passo 6
Agora avaliaremos em t=\pi. Substituímos t=\pi na expressão \dfrac{dx}{dt}=2t\sin t + t^{2}\cos t. Lembre-se dos valores trigonométricos básicos: