Exercício 76. Calcule \int_{C} F d r, onde F(x, y, z)=\left(4 x y-3 x^{2} z^{2}, 2 x^{2},-2 x^{3} z\right) e C é a curva obtida como interseção da superfície \frac{x^{2}}{3}+\frac{y^{2}}{4}+z^{2}=1, z \geq 0 com o plano y=1. Indique a orientação escolhida.

Passo 1

O enunciado dá a forma vetorial do campo \displaystyle F(x,y,z)=\bigl(4xy-3x^{2}z^{2},\;2x^{2},\;-2x^{3}z\bigr) e a curva C definida como interseção da superfície
\frac{x^{2}}{3}+\frac{y^{2}}{4}+z^{2}=1,\quad z\ge 0
com o plano y=1. O que se pede é calcular a integral de linha
\int_{C} F\cdot dr
e indicar a orientação escolhida.
Informações relevantes do enunciado que usaremos:
\text{(i)}\; y=1 \text{ ao longo de } C; \qquad \text{(ii)}\; \frac{x^{2}}{3}+z^{2}=1-\frac{y^{2}}{4} = 1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4},
portanto C é a parte superior ( z\ge 0) da elipse dada por
\frac{x^{2}}{9/4}+\frac{z^{2}}{3/4}=1.

Passo 2

Escolha de parametrização e orientação (explicação didática).
  • Uma elipse na forma
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{z^{2}}{b^{2}}=1
pode ser parametrizada por
x=a\cos t,\qquad z=b\sin t,
com t variando de 0 a 2\pi para percorrer a elipse inteira. Aqui temos a^{2}=9/4 e b^{2}=3/4, logo
a=\frac{3}{2},\qquad b=\frac{\sqrt{3}}{2}.
Como o enunciado restringe a z\ge 0, percorremos apenas a metade superior da elipse, correspondente a t\in[0,\pi].
Vou escolher a orientação dada por t aumentando de 0 até \pi. Assim a parametrização escolhida é
\mathbf{r}(t)=\Bigl(\frac{3}{2}\cos t,\;1,\;\frac{\sqrt{3}}{2}\sin t\Bigr),\qquad 0\le t\le\pi.
Comentário sobre a orientação: para t=0 temos o ponto \bigl(\tfrac{3}{2},1,0\bigr) (extremo direito) e para t=\pi chegamos em \bigl(-\tfrac{3}{2},1,0\bigr) (extremo esquerdo). Ou seja, percorro a parte superior da elipse da direita para a esquerda.

Passo 3

Calcular dr/dt e avaliar F ao longo da parametrização.
  • Derivando \mathbf{r}(t) obtemos
\mathbf{r}'(t)=\Bigl(-\frac{3}{2}\sin t,\;0,\;\frac{\sqrt{3}}{2}\cos t\Bigr).
  • Avaliando as componentes de F com y=1, x=\tfrac{3}{2}\cos t, z=\tfrac{\sqrt{3}}{2}\sin t:
Calcule x, x^{2}, z^{2}, x^{2}z^{2}, x^{3}z:
x=\frac{3}{2}\cos t,\qquad x^{2}=\frac{9}{4}\cos^{2}t,
z=\frac{\sqrt{3}}{2}\sin t,\qquad z^{2}=\frac{3}{4}\sin^{2}t,
x^{2}z^{2}=\frac{9}{4}\cos^{2}t\cdot\frac{3}{4}\sin^{2}t=\frac{27}{16}\cos^{2}t\sin^{2}t,
x^{3}z=\Bigl(\frac{3}{2}\cos t\Bigr)^{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\sin t =\frac{27\sqrt{3}}{16}\cos^{3}t\sin t.
Agora as componentes de F sobre a curva:
F_{1}=4xy-3x^{2}z^{2}=4x-3x^{2}z^{2} =6\cos t-\frac{81}{16}\cos^{2}t\sin^{2}t,
pois 4x=4\cdot\frac{3}{2}\cos t=6\cos t e 3x^{2}z^{2}=3\cdot\frac{27}{16}\cos^{2}t\sin^{2}t=\frac{81}{16}\cos^{2}t\sin^{2}t.
F_{2}=2x^{2}=2\cdot\frac{9}{4}\cos^{2}t=\frac{9}{2}\cos^{2}t,
F_{3}=-2x^{3}z=-2\cdot\frac{27\sqrt{3}}{16}\cos^{3}t\sin t =-\frac{27\sqrt{3}}{8}\cos^{3}t\sin t.

Passo 4

Montar o produto escalar F(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t) e simplificar (a integral será de t=0 a \pi).
F(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t) =F_{1}\cdot x'(t)+F_{2}\cdot y'(t)+F_{3}\cdot z'(t).
Como y'(t)=0, o termo com F_{2} desaparece. Substituindo x'(t)=-\tfrac{3}{2}\sin t e z'(t)=\tfrac{\sqrt{3}}{2}\cos t, obtemos
\begin{aligned} F\cdot r' &=\Bigl(6\cos t-\frac{81}{16}\cos^{2}t\sin^{2}t\Bigr)\Bigl(-\frac{3}{2}\sin t\Bigr) +\Bigl(-\frac{27\sqrt{3}}{8}\cos^{3}t\sin t\Bigr)\Bigl(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos t\Bigr)\\[4pt] &= -9\sin t\cos t +\frac{243}{32}\cos^{2}t\sin^{3}t -\frac{81}{16}\cos^{4}t\sin t. \end{aligned}
Portanto a integral de linha é
\int_{C}F\cdot dr=\int_{0}^{\pi}\Bigl(-9\sin t\cos t +\frac{243}{32}\cos^{2}t\sin^{3}t -\frac{81}{16}\cos^{4}t\sin t\Bigr)\,dt.]

Passo 5

Calcular cada termo da integral separadamente, usando substituições simples (aulas rápidas de técnica).
  • Primeiro termo:
\int_{0}^{\pi}-9\sin t\cos t\,dt=-9\int_{0}^{\pi}\sin t\cos t\,dt.
Observação: \dfrac{d}{dt}(\sin^{2}t)=2\sin t\cos t, logo
\int_{0}^{\pi}\sin t\cos t\,dt=\frac{1}{2}\bigl[\sin^{2}t\bigr]_{0}^{\pi}=0,
portanto esse termo vale 0.
  • Segundo termo:
\int_{0}^{\pi}\cos^{2}t\sin^{3}t\,dt.
Faça a substituição u=\cos t, então du=-\sin t\,dt. Escreva \sin^{3}t=\sin^{2}t\cdot\sin t=(1-\cos^{2}t)\sin t=(1-u^{2})\sin t. Assim
\int_{0}^{\pi}\cos^{2}t\sin^{3}t\,dt =\int_{t=0}^{t=\pi} u^{2}(1-u^{2})\sin t\,dt =\int_{u=1}^{u=-1} u^{2}(1-u^{2})(-du) =\int_{-1}^{1} u^{2}(1-u^{2})\,du.
A função integranda é par, então
\int_{-1}^{1} u^{2}(1-u^{2})\,du =2\int_{0}^{1}(u^{2}-u^{4})\,du =2\Bigl[\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\Bigr]=2\cdot\frac{2}{15}=\frac{4}{15}.
Multiplicando pelo coeficiente \tfrac{243}{32} do integrando original:
\frac{243}{32}\cdot\frac{4}{15}=\frac{243\cdot4}{480}=\frac{972}{480}=\frac{81}{40}.
  • Terceiro termo:
\int_{0}^{\pi}\cos^{4}t\sin t\,dt.
Use novamente u=\cos t, du=-\sin t\,dt. Então
\int_{0}^{\pi}\cos^{4}t\sin t\,dt =\int_{u=1}^{u=-1} u^{4}(-du)=\int_{-1}^{1} u^{4}\,du =2\int_{0}^{1} u^{4}\,du=2\cdot\frac{1}{5}=\frac{2}{5}.
Multiplicando pelo coeficiente \tfrac{81}{16} temos
\frac{81}{16}\cdot\frac{2}{5}=\frac{162}{80}=\frac{81}{40}.
  • Somando os termos (lembre do sinal do terceiro termo, que era negativo):
\int_{C}F\cdot dr = 0 + \frac{81}{40} - \frac{81}{40} = 0.

Passo 6

Interpretação final e comentário: a integral é zero para a parametrização escolhida (parte superior da elipse percorrida de t=0 a t=\pi, isto é, da extremidade direita \bigl(\tfrac{3}{2},1,0\bigr) para a esquerda \bigl(-\tfrac{3}{2},1,0\bigr)). Se tivéssemos escolhido a orientação contrária, o valor também seria zero (pois o oposto de zero é zero).

Resposta

0
Orientação escolhida: \mathbf{r}(t)=\bigl(\tfrac{3}{2}\cos t,\,1,\,\tfrac{\sqrt{3}}{2}\sin t\bigr), t\in[0,\pi] (metade superior da elipse percorrida da direita para a esquerda).

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