Exercício 76. Calcule
, onde
e
é a curva obtida como interseção da superfície
com o plano
. Indique a orientação escolhida.
Passo 1
O enunciado dá a forma vetorial do campo
e a curva
definida como interseção da superfície
com o plano
. O que se pede é calcular a integral de linha
e indicar a orientação escolhida.
Informações relevantes do enunciado que usaremos:
portanto
é a parte superior (
) da elipse dada por
Passo 2
Escolha de parametrização e orientação (explicação didática).
- Uma elipse na forma
pode ser parametrizada por
com
variando de
a
para percorrer a elipse inteira. Aqui temos
e
, logo
Como o enunciado restringe a
, percorremos apenas a metade superior da elipse, correspondente a
.
Vou escolher a orientação dada por
aumentando de
até
. Assim a parametrização escolhida é
Comentário sobre a orientação: para
temos o ponto
(extremo direito) e para
chegamos em
(extremo esquerdo). Ou seja, percorro a parte superior da elipse da direita para a esquerda.
Passo 3
Calcular
e avaliar
ao longo da parametrização.
- Derivando
obtemos
- Avaliando as componentes de
com , , :
Calcule
,
,
,
,
:
Agora as componentes de
sobre a curva:
pois
e
.
Passo 4
Montar o produto escalar
e simplificar (a integral será de
a
).
Como
, o termo com
desaparece. Substituindo
e
, obtemos
Portanto a integral de linha é
Passo 5
Calcular cada termo da integral separadamente, usando substituições simples (aulas rápidas de técnica).
- Primeiro termo:
Observação:
, logo
portanto esse termo vale
.
- Segundo termo:
Faça a substituição
, então
. Escreva
. Assim
A função integranda é par, então
Multiplicando pelo coeficiente
do integrando original:
- Terceiro termo:
Use novamente
,
. Então
Multiplicando pelo coeficiente
temos
- Somando os termos (lembre do sinal do terceiro termo, que era negativo):
Passo 6
Interpretação final e comentário: a integral é zero para a parametrização escolhida (parte superior da elipse percorrida de
a
, isto é, da extremidade direita
para a esquerda
). Se tivéssemos escolhido a orientação contrária, o valor também seria zero (pois o oposto de zero é zero).
Resposta
0
Orientação escolhida: ,
(metade superior da elipse percorrida da direita para a esquerda).
Orientação escolhida: