Calcule os limites (envolve infinito).
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite (pela esquerda)
Informações dadas:
- A função considerada é
. - Queremos a aproximação de
quando se aproxima de por valores menores que (da esquerda).
Passo 2
Entendendo o que significa “limite pela esquerda”:
quer dizer que, quando
aproxima-se de
por valores menores (por exemplo
), os valores de
se aproximam de um número
.
Uma maneira prática de calcular limites de funções racionais é verificar se a função é contínua no ponto de interesse; se for, o limite é simplesmente o valor da função nesse ponto. Aqui vamos usar também uma manipulação algébrica que mostra diretamente a convergência ao valor.
Uma maneira prática de calcular limites de funções racionais é verificar se a função é contínua no ponto de interesse; se for, o limite é simplesmente o valor da função nesse ponto. Aqui vamos usar também uma manipulação algébrica que mostra diretamente a convergência ao valor.
Passo 3
Verificação rápida do ponto
:
- O denominador em
é , que é diferente de zero. - Como o denominador não é zero, a expressão
está bem definida em . Polinômios são funções contínuas, e quociente de funções contínuas é contínuo onde o denominador não zera. Portanto é contínua em , o que já indica que
Mas para ficar ainda mais claro e mostrar um raciocínio que dá para usar na prova, vou fazer uma manipulação algébrica.
Passo 4
Faço a diferença entre
e
(suspeitando que o limite seja
) e simplifico:
Fatorando o numerador:
Logo
Agora observe o comportamento quando
: o fator
tende a
, enquanto
tende a
e
tende a
(nenhum destes últimos zera). Assim o quociente
Portanto
, ou seja
quando
.
Passo 5
Interpretação final e checagem: a manipulação mostra que, independentemente de aproximarmos
pela esquerda ou pela direita, a diferença entre a função e
tende a zero. Como o denominador não anula em
, não há comportamento infinito nem descontinuidade; o limite é o valor apontado pela substituição direta.