Calcule os limites (envolve infinito).
\lim _{x \rightarrow 2^{-}} \frac{x^{2}}{x+2}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite (pela esquerda)
\lim_{x\to 2^-} \frac{x^{2}}{x+2}.
Informações dadas:
  • A função considerada é f(x)=\dfrac{x^{2}}{x+2}.
  • Queremos a aproximação de f(x) quando x se aproxima de 2 por valores menores que 2 (da esquerda).

Passo 2

Entendendo o que significa “limite pela esquerda”: \lim_{x\to 2^-} f(x)=L quer dizer que, quando x aproxima-se de 2 por valores menores (por exemplo 1{,}9,\,1{,}99,\dots), os valores de f(x) se aproximam de um número L.
Uma maneira prática de calcular limites de funções racionais é verificar se a função é contínua no ponto de interesse; se for, o limite é simplesmente o valor da função nesse ponto. Aqui vamos usar também uma manipulação algébrica que mostra diretamente a convergência ao valor.

Passo 3

Verificação rápida do ponto x=2:
  • O denominador em x=2 é x+2=2+2=4, que é diferente de zero.
  • Como o denominador não é zero, a expressão f(x)=\dfrac{x^{2}}{x+2} está bem definida em x=2. Polinômios são funções contínuas, e quociente de funções contínuas é contínuo onde o denominador não zera. Portanto f é contínua em x=2, o que já indica que
\lim_{x\to 2^-} \frac{x^{2}}{x+2}=f(2).
Mas para ficar ainda mais claro e mostrar um raciocínio que dá para usar na prova, vou fazer uma manipulação algébrica.

Passo 4

Faço a diferença entre f(x) e 1 (suspeitando que o limite seja 1) e simplifico:
\frac{x^{2}}{x+2}-1=\frac{x^{2}-(x+2)}{x+2}=\frac{x^{2}-x-2}{x+2}.
Fatorando o numerador:
x^{2}-x-2=(x-2)(x+1).
Logo
\frac{x^{2}}{x+2}-1=\frac{(x-2)(x+1)}{x+2}.
Agora observe o comportamento quando x\to 2^-: o fator (x-2) tende a 0, enquanto (x+1) tende a 3 e (x+2) tende a 4 (nenhum destes últimos zera). Assim o quociente
\frac{(x-2)(x+1)}{x+2}\to 0.
Portanto \dfrac{x^{2}}{x+2}-1\to 0, ou seja \dfrac{x^{2}}{x+2}\to 1 quando x\to 2^-.

Passo 5

Interpretação final e checagem: a manipulação mostra que, independentemente de aproximarmos 2 pela esquerda ou pela direita, a diferença entre a função e 1 tende a zero. Como o denominador não anula em x=2, não há comportamento infinito nem descontinuidade; o limite é o valor apontado pela substituição direta.

Resposta

1

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