Determine cada limite indicando qual propriedade utilizada:
\lim _{y \rightarrow 1} \sqrt[3]{\frac{27 y^{3}+4 y-4}{y^{10}+4 y^{2}+3 y}}

Passo 1

O enunciado pede o valor do seguinte limite quando y tende a 1:
\lim_{y\to 1} \sqrt[3]{\frac{27 y^{3}+4 y-4}{y^{10}+4 y^{2}+3 y}}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão dentro da raiz é a função racional
g(y)=\frac{27 y^{3}+4 y-4}{y^{10}+4 y^{2}+3 y}.
  • O que se pede é o limite da composição f(g(y)) quando y\to 1, onde f(t)=\sqrt[3]{t}.
  • Não há outras informações extra no enunciado (por exemplo, nenhum indício de que o denominador zere em y=1; isso precisa ser verificado).

Passo 2

Estratégia (sem calcular ainda): usar propriedades de limites e continuidade. Vou explicar as propriedades que vou aplicar:
  • Propriedade 1 (continuidade de polinômios e funções racionais): todo polinômio p(y) é contínuo em todo \mathbb{R}. Uma função racional \dfrac{p(y)}{q(y)} é contínua em qualquer ponto onde q(y)\neq 0. Isso significa que, se q(1)\neq 0, então
\lim_{y\to 1}\frac{p(y)}{q(y)}=\frac{p(1)}{q(1)}.
  • Propriedade 2 (continuidade da raiz cúbica): a função f(t)=\sqrt[3]{t} é contínua para todo t\in\mathbb{R}. Pelo teorema de composição, se \lim_{y\to 1} g(y)=L e f é contínua em L, então
\lim_{y\to 1} f(g(y)) = f\bigl(\lim_{y\to 1} g(y)\bigr) = f(L).
Vou aplicar essas ideias: primeiro verificar que o denominador em g(y) não é zero em y=1; em seguida calcular g(1); por fim aplicar a continuidade da raiz cúbica para trocar limite por valor.

Passo 3

Verificar o denominador em y=1. O denominador é a função polinomial
q(y)=y^{10}+4y^{2}+3y.
Calcular q(1):
q(1)=1^{10}+4\cdot 1^{2}+3\cdot 1 = 1+4+3 = 8.
Como q(1)=8\neq 0, a função racional g(y) é contínua em y=1. Portanto podemos calcular o limite de g(y) simplesmente substituindo y=1.

Passo 4

Calcular o valor de g(1). O numerador é
p(y)=27y^{3}+4y-4,
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p(1)=27\cdot 1^{3}+4\cdot 1-4 = 27+4-4 = 27.
Assim
g(1)=\frac{p(1)}{q(1)}=\frac{27}{8}.
Pela continuidade do racional em y=1,
\lim_{y\to 1} g(y)=\frac{27}{8}.

Passo 5

Usar a continuidade da função f(t)=\sqrt[3]{t}. Como f é contínua em t=\dfrac{27}{8}, pelo teorema da composição:
\lim_{y\to 1} \sqrt[3]{g(y)} = \sqrt[3]{\lim_{y\to 1} g(y)} = \sqrt[3]{\frac{27}{8}}.
Calcular a raiz cúbica:
\sqrt[3]{\frac{27}{8}} = \frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{8}} = \frac{3}{2}.

Resposta

\dfrac{3}{2}

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