Calcule os limites nos exercícios 1-18.
\lim _{z \rightarrow 0}(2 z-8)^{1 / 3}\

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{z\rightarrow 0}\bigl(2z-8\bigr)^{1/3}.
Informações dadas:
  • A função considerada é f(z)=\bigl(2z-8\bigr)^{1/3}.
  • O ponto de aproximação é z\to 0.
  • Vou assumir que a variável z é real (para números reais a raiz cúbica é única e bem definida).

Passo 2

Faça a substituição auxiliar
u=2z-8.
Quando z\to 0 temos
u=2\cdot 0 - 8 = -8,
ou seja
\lim_{z\to 0}u=\lim_{z\to 0}(2z-8)=-8.

Passo 3

Explicar por que podemos passar o limite para dentro da raiz cúbica:
a função g(u)=u^{1/3}=\sqrt[3]{u} é contínua em todo \mathbb{R}. Uma forma simples de ver isso é notar que g é a função inversa de h(t)=t^3, que é contínua e estritamente monotona, logo sua inversa também é contínua. Para funções contínuas vale a propriedade
\lim_{u\to u_0} g(u)=g\!\bigl(\lim_{u\to u_0} u\bigr)=g(u_0).

Passo 4

Aplicando essa propriedade ao caso em questão, com u\to -8, obtemos
\lim_{z\to 0}\bigl(2z-8\bigr)^{1/3} = \lim_{u\to -8} u^{1/3} = \bigl(-8\bigr)^{1/3}.

Passo 5

Calcule a raiz cúbica de -8. Procure um número t tal que t^3=-8. Claramente t=-2 porque
(-2)^3=-8.
Portanto
\bigl(-8\bigr)^{1/3}=-2.

Resposta

-2

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